Concavità di una funzione reale in due variabili

[retrocomputer]

Sto cercando di dimostrare che la funzione $f(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha}$, con $0<\alpha<1$ e $x,y\geq 0$ è concava (nel quadrante positivo di $RR^2$).

Inizialmente ho cercato qualche bella disuguaglianza dei numeri reali, tipo quella di Young, ma non mi ha portato fortuna...
Poi sono passato alla forza bruta, calcolando le derivate parziali prime e seconde e cercando gli autovalori della matrice hessiana, ma qui i conti diventano lunghi e davanti all'espressione delle soluzioni dell'equazione di secondo grado che fornisce gli autovalori faccio fatica a vederne il segno.

Vorrei sapere se la strada delle derivate è l'unica percorribile o se ci sono altri modi più rapidi. Se non c'è altra via magari posto qualche conto e qualche risultato così vediamo se si arriva a qualcosa.

[Quinzio]

Provo:

ci deve essere un teorema (di cui non ricordo il nome) che dice che se:
$\AAx, x\in U\ \EE I_x $ tale che $f(x)$ è concava, allora è concava su tutto l'intervallo considerato $U$.

Prendo due generici punti e faccio la differenza

$(x+h)^\alpha(y+k)^(1-\alpha)-(x)^\alpha(y)^(1-\alpha)$

Considero una retta che unisce i due punti (parametrizzata in $t$), la funzione deve stare sopra la retta

$(x)^\alpha(y)^(1-\alpha)((1+h/x)^\alpha(1+k/y)^(1-\alpha)-1)t+(x)^\alpha(y)^(1-\alpha)<(x+th)^\alpha(y+tk)^(1-\alpha)$

$(x)^\alpha(y)^(1-\alpha)(((1+h/x)^\alpha(1+k/y)^(1-\alpha)-1)t+1)<(x)^\alpha(y)^(1-\alpha)((1+(th)/x)^\alpha(1+(tk)/y)^(1-\alpha))$

$((1+h/x)^\alpha(1+k/y)^(1-\alpha)-1)t+1<(1+(th)/x)^\alpha(1+(tk)/y)^(1-\alpha)$

Applico Taylor, facendo tendere $t->0$, e tronco all'ordine 1.

$((1+h/x)^\alpha(1+k/y)^(1-\alpha)-1)t+1<(1+(\alpha th)/x)(1+((1-\alpha)tk)/y)$

$((1+h/x)^\alpha(1+k/y)^(1-\alpha)-1)t+1<1+((\alpha h)/x +((1-\alpha)k)/y) t$

$(1+h/x)^\alpha(1+k/y)^(1-\alpha)-1<(\alpha h)/x +((1-\alpha)k)/y $

Quest'ultima disuguaglianza mi sembra vera, ma non saprei dimostrarlo, probabilmente si tratta di applicare Taylor su $\alpha$ in qualche modo intelligente.

Boh, prendi il tutto solo come uno spunto... ciao.

[retrocomputer]

Grazie Quinzio! Alla fine vedo che i conti sono comunque piuttosto lunghetti...
La tua disequazione finale l'ho provata in modo empirico, cioè con qualche numero che semplifica i conti e sembra tornare... Ma per la dimostrazione... Mi sa che se la gioca con la positività degli autovalori della mia soluzione

[Quinzio]

Forse è sufficiente che l'Hessiana sia definita positiva (con autovalori negativi) ?