Concavità di una funzione

[oxyz]

Salve, come determino la concavità della funzione x oppure della |x|? La f''(x) purtroppo è identicamente nulla. Stando alla definizione di convessità/concavità, mi sento di dire che sono sia concave che convesse. O sbaglio? E possiedono punti di flesso tali funzioni?

[Roxie1]

Essendo f(x) = x una retta secondo me puoi dire che è sia concava che convessa (oppure, e ciò è lo stesso, che non è concava nè convessa). E questo lo vedi anche dal grafico. Idem per |x|. Direi che punti di flesso non ce ne sono, visto che la "concavità" non cambia...

[oxyz]

La definizione afferma che una retta per 2 punti generici di ascissa x1 e x2 del grafico debba essere >= f(x) per la convessità e <= per la concavità nell'intervallo [x1;x2].
Una funzione convessa è una funzione a valori reali il cui grafico giace al di sotto del segmento congiungente due qualsiasi punti di esso.
Una funzione f a valori reali si dice concava se la funzione − f è convessa.
L'epigrafico di una funzione convessa è un insieme convesso.
Per x o per |x| ciò è tutto vero. Perciò dicevo che sono sia concave che convesse. Perchè dovrebbero essere nè concave nè convesse?

[gugo82]

"oxyz":La definizione afferma che una retta per 2 punti generici di ascissa x1 e x2 del grafico debba essere >= f(x) per la convessità e <= per la concavità nell'intervallo [x1;x2].
Una funzione convessa è una funzione a valori reali il cui grafico giace al di sotto del segmento congiungente due qualsiasi punti di esso.
Una funzione f a valori reali si dice concava se la funzione − f è convessa.
L'epigrafico di una funzione convessa è un insieme convesso.
Per x o per |x| ciò è tutto vero.

Quindi sono entrambe convesse.

"oxyz":Perciò dicevo che sono sia concave che convesse.

Falso.

La \(f(x):=|x|\) è convessa e basta (e, per stabilirlo, non puoi usare il criterio della derivata seconda, poiché \(f\) non è derivabile due volte in tutto \(\mathbb{R}\)).

La \(g(x):=x\), invece, è contemporaneamente concava e convessa, ma ciò non è una cosa strana: infatti si dimostra che le unice funzioni contemporaneamente concave e convesse sono quelle "lineari", cioè quelle del tipo \(h(x):=ax+b\).

[oxyz]

Grazie gugo82, dunque:
1. per stabilire che |x| è convessa uso o l'epigrafico o il segmento.
2. la funzione x ha punti di flesso? ossia la concavità cambia punto per punto perchè è sia concava che convessa oppure non cambia perchè è da considerare sempre concava o sempre convessa?

[dissonance]

"Roxie":è sia concava che convessa (oppure, e ciò è lo stesso, che non è concava nè convessa).

Non è lo stesso. Una funzione "sia concava sia convessa" sicuramente non è una funzione "né concava né convessa". E' una contraddizione in termini: se una funzione è concava, come fa a non essere concava? E similmente, se una funzione è convessa, come fa a non essere convessa?