CONCAVITA' di una funzione
Ciao a tutti,
ho questa funzione $ f(x) = |x|/(x^2 - 4) $ e ho un problema con lo studio della concavità.
Derivata prima $ f'(x) = (-x^2 - 4)/(x^2 - 4)^2 $
Derivata seconda $ f''(x) = (2x(x^2 + 12))/(x^2 - 4)^3 $
Quindi pongo $ f''(x) > 0 $ e ottengo come soluzione $ -2 < x < 0 $ e $ x > 2 $, ma il grafico dice che è concava tra -2 e 2.
Cosa ho sbagliato? Forse nelle soluzioni di $ f''(x) > 0 $ ??
ho questa funzione $ f(x) = |x|/(x^2 - 4) $ e ho un problema con lo studio della concavità.
Derivata prima $ f'(x) = (-x^2 - 4)/(x^2 - 4)^2 $
Derivata seconda $ f''(x) = (2x(x^2 + 12))/(x^2 - 4)^3 $
Quindi pongo $ f''(x) > 0 $ e ottengo come soluzione $ -2 < x < 0 $ e $ x > 2 $, ma il grafico dice che è concava tra -2 e 2.
Cosa ho sbagliato? Forse nelle soluzioni di $ f''(x) > 0 $ ??
Risposte
Il valore assoluto dove l'hai abbandonato?
la derivata di $|x|$ non è 1.
EDIT: come ti ha suggerito seb
EDIT: come ti ha suggerito seb
Devi spezzare la funzione, $ f_1(x) = -x/(x^2-4) $ per $x < 0$ e $ f_2(x) = x/(x^2-4) $ per $x >= 0 $. A quel punto avrai due derivate prime, e dunque due derivate seconde. Una volta trovati i risultati per cui $ f''_1(x) > 0 $ dovrai intersecarli con $x < 0$, idem con $ f''_2(x) > 0 $, da intersecare con $x > 0$.
"VincenzoPetrone":
Devi spezzare la funzione, $ f_1(x) = -x/(x^2-4) $ per $x < 0$ e $ f_2(x) = x/(x^2-4) $ per $x >= 0 $. A quel punto avrai due derivate prime, e dunque due derivate seconde. Una volta trovati i risultati per cui $ f''_1(x) > 0 $ dovrai intersecarli con $x < 0$, idem con $ f''_2(x) > 0 $, da intersecare con $x > 0$.
Ma quindi alla fine mi ritrovo con due soluzione diverse. Quale devo guardare per disegnare la convessità?
"cooper":
la derivata di $|x|$ non è 1.
EDIT: come ti ha suggerito seb
Si ma semplificando viene uguale.
no che non viene uguale. viene uguale solo per le x positive. per quelle negative la derivata prima è diversa:
sia $ x<0 $
$ d/(dx)(-x/(x^2-4))=(-x^2+4+2x^2)/(x^2-4)^2=(x^2+4)/(x^2-4)^2 $ che come puoi vedere è diversa da quelle positive.
sia $ x<0 $
$ d/(dx)(-x/(x^2-4))=(-x^2+4+2x^2)/(x^2-4)^2=(x^2+4)/(x^2-4)^2 $ che come puoi vedere è diversa da quelle positive.
"cooper":
no che non viene uguale. viene uguale solo per le x positive. per quelle negative la derivata prima è diversa:
sia $ x<0 $
$ d/(dx)(-x/(x^2-4))=(-x^2+4+2x^2)/(x^2-4)^2=(x^2+4)/(x^2-4)^2 $ che come puoi vedere è diversa da quelle positive.
Ma quando avrò due derivate e troverò le intersezioni con x > 0 per una e x < 0 per l'altra, otterrò due soluzioni distinte.
Come faccio a capire quale mi rappresenta la concavità?
te lo ha spiegato VincenzoPetrone. in pratica vedi la concavità per i positivi e per i negativi e così capisci il comportamento della funzione.
"cooper":
te lo ha spiegato VincenzoPetrone. in pratica vedi la concavità per i positivi e per i negativi e così capisci il comportamento della funzione.
Ok allora io ora ho per le x > 0 la concavità rivolta verso il basso tra -2 e 2 e per le x < 0 ho la concavità rivolta verso l'alto tra -2 e 2.
Quale delle due devo guardare? Guardando il grafico sembra per x > 0, ma perchè?
"abaco90":
[quote="cooper"]te lo ha spiegato VincenzoPetrone. in pratica vedi la concavità per i positivi e per i negativi e così capisci il comportamento della funzione.
Ok allora io ora ho per le x > 0 la concavità rivolta verso il basso tra -2 e 2 e per le x < 0 ho la concavità rivolta verso l'alto tra -2 e 2.
Quale delle due devo guardare? Guardando il grafico sembra per x > 0, ma perchè?[/quote]
devi intersecare la soluzione. x=2 non è negativo! idem per l'altra parte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo