Composizione di funzioni misurabili secondo Lebesgue
Ciao,
lavorando sulle funzioni misurabili nell'accezione di Lebesgue ho visto che la loro composizione non è necessariamente misurabile secondo Lebesgue.
Ho alcune domande:
-mi pare di aver dimostrato che se una delle due è continua e l'altra è finita però la loro composizione sia misurabile.Potete confermarmi che effettivamente funge?
-vorrei vedere qualche controesempio appunto di funzione che sia composizione di funzione misurabili però non sia essa stessa misurabile.
Se avete qualche link a qualche libro di testo o riferimenti appunto a libri di testo va benissimo, purtroppo per motivi logistici sono sprovvista di elementi cartacei per comprovare le mia affermazioni.
lavorando sulle funzioni misurabili nell'accezione di Lebesgue ho visto che la loro composizione non è necessariamente misurabile secondo Lebesgue.
Ho alcune domande:
-mi pare di aver dimostrato che se una delle due è continua e l'altra è finita però la loro composizione sia misurabile.Potete confermarmi che effettivamente funge?
-vorrei vedere qualche controesempio appunto di funzione che sia composizione di funzione misurabili però non sia essa stessa misurabile.
Se avete qualche link a qualche libro di testo o riferimenti appunto a libri di testo va benissimo, purtroppo per motivi logistici sono sprovvista di elementi cartacei per comprovare le mia affermazioni.
Risposte
Eh ma mi pare che in realtà la composizione di funzioni $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ misurabili secondo Lebesgue sia misurabile. Infatti, se non sbaglio, quando la funzione più esterna è misurabile rispetto alla sigma-algebra di Borel allora la composizione è misurabile, e la sigma-algebra di Lebesgue è il completamento della sigma-algebra di Borel, per cui tutto finisce col funzionare. C'era un remark al riguardo sul Rudin Real and complex analysis, nel paragrafo in cui viene introdotto il prodotto di convoluzione.
Io però, nel frattempo cercando,ho trovato anche in alcuni libri la conferma appunto che non lo sia in generale.
Ma che occorrano alcune ulteriori specifiche.A questo punto ricontrollerò tutto.
Ma che occorrano alcune ulteriori specifiche.A questo punto ricontrollerò tutto.
Contestualizzo meglio:
la composizione di funzioni misurabili secondo Lebsgue è sempre misurabile se consideriamo due spazi topologi e le rispettive strutture.Fin qua ok.
Ma se io considero funzioni reali definite da R in R una funzione boreliana è anche misurabile secondo L ma non necessariamente viceversa. Quindi se f e g sono misurabili Lebesgue non è detto che la composizione lo sia.
Pero se f è boreliana e g misurabile la composizione lo è.
A questo punto resta appunto il mio dubbio sull'eventuale controesempio di funzione reale composizione di funzioni reali misurabili che non sia essa stessa misurabile.
la composizione di funzioni misurabili secondo Lebsgue è sempre misurabile se consideriamo due spazi topologi e le rispettive strutture.Fin qua ok.
Ma se io considero funzioni reali definite da R in R una funzione boreliana è anche misurabile secondo L ma non necessariamente viceversa. Quindi se f e g sono misurabili Lebesgue non è detto che la composizione lo sia.
Pero se f è boreliana e g misurabile la composizione lo è.
A questo punto resta appunto il mio dubbio sull'eventuale controesempio di funzione reale composizione di funzioni reali misurabili che non sia essa stessa misurabile.
Come hai già osservato, la composizione di due funzioni (Lebesgue-)misurabili non è necessariamente misurabile.
Per costruire un controesempio è sufficiente mostrare che esiste una funzione \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) (Lebesgue-)misurabile tale che \(f^{-1}(E)\) non sia misurabile per qualche \(E\) misurabile.
Consideriamo la funzione \(\phi:[0,1]\to [0,2]\), \(\phi(x) := x + c(x)\), dove \(c:[0,1]\to [0,1]\) è la solita scala di Cantor. Poiché \(\phi\) è un omeomorfismo, ammette inversa continua \(f:[0,2]\to [0,1]\).
Come è noto, se indichiamo con \(C\subset [0,1]\) l'insieme di Cantor, abbiamo che \(\phi(C)\) è misurabile e ha misura \(1\); esiste dunque un suo sottoinsieme \(A\subset \phi(C)\) non misurabile. D'altra parte \(E := f(A)=\phi^{-1}(A)\subset C\) è misurabile dal momento che \(C\) ha misura nulla e la misura di Lebesgue è completa, mentre \(f^{-1}(E) = \phi(\phi^{-1}(A)) = A\) non è misurabile.
Per costruire un controesempio è sufficiente mostrare che esiste una funzione \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) (Lebesgue-)misurabile tale che \(f^{-1}(E)\) non sia misurabile per qualche \(E\) misurabile.
Consideriamo la funzione \(\phi:[0,1]\to [0,2]\), \(\phi(x) := x + c(x)\), dove \(c:[0,1]\to [0,1]\) è la solita scala di Cantor. Poiché \(\phi\) è un omeomorfismo, ammette inversa continua \(f:[0,2]\to [0,1]\).
Come è noto, se indichiamo con \(C\subset [0,1]\) l'insieme di Cantor, abbiamo che \(\phi(C)\) è misurabile e ha misura \(1\); esiste dunque un suo sottoinsieme \(A\subset \phi(C)\) non misurabile. D'altra parte \(E := f(A)=\phi^{-1}(A)\subset C\) è misurabile dal momento che \(C\) ha misura nulla e la misura di Lebesgue è completa, mentre \(f^{-1}(E) = \phi(\phi^{-1}(A)) = A\) non è misurabile.
Ah ecco vedi, c'era l'inghippo. Il fatto è che se due funzioni $f, g : RR\to RR$ sono Borel-misurabili, nel senso che per ogni aperto $A\subset RR$ risulta che $f^{-1}(A)$ e $g^{-1}(A)$ sono Borel-misurabili (condizione più restrittiva dell'essere Lebesgue misurabili), allora succede che per ogni Borel-misurabile $B \subset RR$ le controimmagini $f^{-1}(B)$ e $g^{-1}(B)$ sono Borel misurabili. E quindi in particolare la composizione $f \circ g$ è Borel-misurabile.
Questo però non succede se uno parla di misurabilità rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, condizione meno restrittiva che quindi può dare luogo al fenomeno osservato da Rigel. Interessante! Spero di non avere confuso le idee
Questo però non succede se uno parla di misurabilità rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, condizione meno restrittiva che quindi può dare luogo al fenomeno osservato da Rigel. Interessante! Spero di non avere confuso le idee
Scusate se mi intrometto ma qualcosa non mi torna a questo proposito:
Suppongo di avere tre spazi misurabili $(E,\mathfrak{E})$, $(F,\mathfrak{F})$ e $(G,\mathfrak{G})$ e due funzioni misurabili $f:E\rightarrow F$ e $g:F\rightarrow G$ componibili.
Mi chiedo se $g\circ f$ sia misurabile. Allora prendo $A \in \mathfrak{G}$ e mi chiedo se $(g\circ f)^{-1}(A)\in \mathfrak{E}$.
E mi rispondo di sì, perché $(g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))$ e $g^{-1}(A)\in \mathfrak{F}$ perché $g$ è misurabile.
Perché con Lebesgue non dovrebbe funzionare? Dov'è l'inghippo questa volta? Cosa non sto considerando?
Grazie per la pazienza..
Suppongo di avere tre spazi misurabili $(E,\mathfrak{E})$, $(F,\mathfrak{F})$ e $(G,\mathfrak{G})$ e due funzioni misurabili $f:E\rightarrow F$ e $g:F\rightarrow G$ componibili.
Mi chiedo se $g\circ f$ sia misurabile. Allora prendo $A \in \mathfrak{G}$ e mi chiedo se $(g\circ f)^{-1}(A)\in \mathfrak{E}$.
E mi rispondo di sì, perché $(g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))$ e $g^{-1}(A)\in \mathfrak{F}$ perché $g$ è misurabile.
Perché con Lebesgue non dovrebbe funzionare? Dov'è l'inghippo questa volta? Cosa non sto considerando?
Grazie per la pazienza..
Il problema sta nella nomenclatura.
La definizione da te riportata di funzione misurabile è la seguente: dati due spazi misurabili \((E, \mathcal{E})\) ed \((F, \mathcal{F})\), una funzione \(f\colon E\to F\) si dice misurabile se \(f^{-1}(B)\in \mathcal{E}\) per ogni \(B\in\mathcal{F}\). (Potremmo chiamare una tale funzione \(\mathcal{E}\)-\(\mathcal{F}\) misurabile.)
Questa definizione, purtroppo, non è universalmente accettata quando si parla, ad esempio, di funzioni reali di variabile reale.
E' convenzione piuttosto diffusa (anche se non universale) dire che una funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è misurabile se la controimmagine di un aperto è Lebesgue-misurabile; in altre parole, secondo la prima definizione, si tratta di una funzione misurabile da \((\mathbb{R}, \mathcal{M})\) in \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\), dove \(\mathcal{M}\) indica la \(\sigma\)-algebra di Lebesgue e \(\mathcal{B}\) quella di Borel. Si parla invece di funzione Borel-misurabile quando abbiamo una funzione misurabile da \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\) in \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\).
Chiarito questo punto, l'esempio fatto riguarda la composizione di due funzioni \(\mathcal{M}\)-\(\mathcal{B}\) misurabili, che non è necessariamente \(\mathcal{M}\)-\(\mathcal{M}\) misurabile.
La definizione da te riportata di funzione misurabile è la seguente: dati due spazi misurabili \((E, \mathcal{E})\) ed \((F, \mathcal{F})\), una funzione \(f\colon E\to F\) si dice misurabile se \(f^{-1}(B)\in \mathcal{E}\) per ogni \(B\in\mathcal{F}\). (Potremmo chiamare una tale funzione \(\mathcal{E}\)-\(\mathcal{F}\) misurabile.)
Questa definizione, purtroppo, non è universalmente accettata quando si parla, ad esempio, di funzioni reali di variabile reale.
E' convenzione piuttosto diffusa (anche se non universale) dire che una funzione \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è misurabile se la controimmagine di un aperto è Lebesgue-misurabile; in altre parole, secondo la prima definizione, si tratta di una funzione misurabile da \((\mathbb{R}, \mathcal{M})\) in \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\), dove \(\mathcal{M}\) indica la \(\sigma\)-algebra di Lebesgue e \(\mathcal{B}\) quella di Borel. Si parla invece di funzione Borel-misurabile quando abbiamo una funzione misurabile da \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\) in \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\).
Chiarito questo punto, l'esempio fatto riguarda la composizione di due funzioni \(\mathcal{M}\)-\(\mathcal{B}\) misurabili, che non è necessariamente \(\mathcal{M}\)-\(\mathcal{M}\) misurabile.
Grazie mille. Non sapevo di questa distinzione.
Ora ho capito il controesempio.
E.
Ora ho capito il controesempio.
E.
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