Composizione di funzioni continue è una funzione continua

[Needhana]

Salve ragazzi, io non ho capito del come riesce a dimostrare che la funzione composta è $ )

Allora siano $f: D sube RR^n rarr RR^m$ e $g: E sube RR^m rarr RR^p$
Sia il dominio della funzione composta $A={x in D : f(x) in E}$

Siano $x_0 in A$ , $y_0=f(x_0) in E$ , Sia $F(x)=g(f(x))$

Allora se $f$ è continua in $x_0$ e $g$ è continua in $y_0$ allora F è continua in $x_0$.

DIMOSTRAZIONE (che nn riesco ad immaginare)

g per ipotesi è continua in $y_0$ . Sia $epsilon>0$
$EE$ $rho>0$ t.c. $||g(y)-g(y_0)||<$$epsilon$ , $AA x$ $in D$ t.c. $||y-y_0||<$$rho$

f per ipotesi è continua in $x_0$. Uso $rho$ al posto di $epsilon$ nella def. di continuità
$EE delta>0$ t.c. $||f(x)-f(x_0)||
Allora $AA$ $x in D$ $EE$ $delta>o$ t.c. $||g(f(x))-g(f(x_0)||<$$epsilon$ e questo prova che F è continua.

CIoè accade che quando $||x-x_0||<$$delta$ la loro immagine $||f(x)-f(x_0)||<$$rho$ la loro immagine con la g è più vicina di $epsilon$

??? ci sono? Ho capito? -.-' grazie mille

[Sk_Anonymous]

Se conosci la caratterizzazione topologica della continuità la dimostrazione di questo fatto è immediata. Cosa significa, poi, "DIMOSTRAZIONE (che non riesco ad immaginare)"?

[dissonance]

Comunque anche la dimostrazione con epsilon e delta è istruttiva da conoscere. L'idea è: si fissa \(\epsilon\), e allora esiste un \(\delta\), che chiamiamo \(\rho\) associato alla funzione più esterna \(g\); in corrispondenza di questo \(\rho\) esiste un \(\delta\) associato alla funzione più interna \(f\). Mettendo insieme i pezzi, si osserva che è verificata per \(g\circ f\) la definizione di continuità con \(\epsilon\) e \(\delta\).