Composizione di funzioni BV e AC

[Gaia881]

Ciao a tutti!
Avrei bisogno di un aiuto per il seguente esercizio:

Dimostrare o confutare, esibendo un controesempio, ciascuna delle seguenti affermazioni:
(i) supponiamo che \(\displaystyle f \in BV([a, b]) \), \(\displaystyle g \in BV([c,d]) \) con \(\displaystyle f([a,b]) \subseteq [c, d] \). Allora \(\displaystyle g \circ f \in BV([a, b]) \);
(ii) supponiamo che \(\displaystyle f \in AC([a, b]) \), \(\displaystyle g \in AC([c, d]) \) con \(\displaystyle f([a, b]) \subseteq [c, d] \). Allora \(\displaystyle g \circ f \in AC([a, b]) \).

Allora, intuitivamente direi che le affermazioni sono false.
Poiché esiste una proposizione che dice che: \(\displaystyle AC([a, b]) \subset BV([a, b]) \) , la mia idea è trovare delle funzioni \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) che siano sia \(\displaystyle BV \) che \(\displaystyle AC \), ma in modo che composte mi diano una funzione \(\displaystyle g \circ f \not \in BV([a, b)] \).
Trovata questa, si è confutato sia il primo che il secondo punto. Poiché se una funzione non è \(\displaystyle BV \) allora non è nemmeno \(\displaystyle AC \).
Fino a qui è giusto il ragionamento?

Cmq il mio problema più grande è proprio trovare questi esempi di funzioni
Qualcuno può aiutarmi?? Sono disperata!

Grazie!

[Rigel1]

In effetti, in entrambi i casi la risposta è negativa.

Per 1), puoi provare a costruire un esempio prendendo \(g\) la funzione di Heaviside ed \(f\) una funzione BV che però oscilli infinite volte cambiando segno, ad esempio
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x} , &\text{se}\ x\in (0,1],\\
0, & \text{se}\ x = 0.
\end{cases}
\]

Per 2) puoi prendere, ad esempio, \(g(x) = \sqrt{x}\) in \([0,1]\) ed \(f\) il modulo della funzione definita sopra.