Composizione di funzioni
Buon pomeriggio a tutti.
Rieccomi con uno dei tanti dubbi che mi frullano per la testa. Sapreste dirmi a livello di grafico cosa significa sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere e comporre due funzioni come ad esempio $sin$ ed $e^x$? Dividere credo significhi "confrontare", sto pensando, ad esempio, al limite notevole $sinx/x$ il cui grafico, detto in soldoni, da sinusoide sembri "scadere" progressivamente nella retta y=0 nonchè asintoto orizzontale della funzione stessa. Ho provato a confrontare i grafici con wolframalpha, però vorrei qualche considerazione da parte di qualcuno che sia competente in materia. 
Rieccomi con uno dei tanti dubbi che mi frullano per la testa. Sapreste dirmi a livello di grafico cosa significa sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere e comporre due funzioni come ad esempio $sin$ ed $e^x$? Dividere credo significhi "confrontare", sto pensando, ad esempio, al limite notevole $sinx/x$ il cui grafico, detto in soldoni, da sinusoide sembri "scadere" progressivamente nella retta y=0 nonchè asintoto orizzontale della funzione stessa. Ho provato a confrontare i grafici con wolframalpha, però vorrei qualche considerazione da parte di qualcuno che sia competente in materia.
Risposte
"SaraCapobianco":
Sapreste dirmi a livello di grafico cosa significa sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere e comporre due funzioni come ad esempio $sin$ ed $e^x$? Dividere credo significhi "confrontare", sto pensando, ad esempio, al limite notevole $sinx/x$ il cui grafico, detto in soldoni, da sinusoide sembri "scadere" progressivamente nella retta y=0 nonchè asintoto orizzontale della funzione stessa.
Secondo me ci sei come idea e basta che ci pensi un po' per trovare una tua definizione.
Non riesco a spiegartelo bene a parole, ma ti faccio qualche esempio.
Se vuoi $|f(x)|$ basta prendere le zone negative nel grafico di $f(x)$ e "ribaltarle" rispetto all'asse $x$.
Se vuoi $e^(f(x))$ a partire dal grafico di $f(x)$ devi fare qualche considerazione
- dove $f(x)$ è negativa, $e^(f(x))$ è compresa tra $0$ e $1$
- dove $f(x)$ è positiva, $e^(f(x))$ è maggiore di $1$
inoltre l'esponenziale - reale, ovvio! - è iniettivo e mantiene crescenza/decrescenza della funzione con la differenza che se $f(x)$ è negativa e decresce (e tende a $-\infty$), l'esponenziale decresce moolto lentamente (e tende a $0$), mentre se la funzione cresce, l'esponenziale di questa cresce ugualmente... ma in modo spropositato!!!
Puoi farti altri esempi con $\sqrt(f(x))$, con $sin(f(x))$, ecc... ecc... anche se più ti complichi la vita più non è detto che riesci a trarre conclusioni utili.
Dimenticavo...
Ho scritto "inoltre l'esponenziale - reale, ovvio! - è iniettivo e mantiene crescenza/decrescenza della funzione", in altre parole $e^(f(x))$ cresce se cresce $f(x)$ ed è decrescente se decresce $f(x)$ inoltre mantiene anche massimi/minimi.
... Sapresti dimostrarla questa cosa?
Ciao Zero87,
innanzitutto ti ringrazio per la risposta
, pensavo che nessuno più mi rispondesse alla domanda :'(.
Poichè hai parlato di crescenza e decrescenza, subito mi viene da pensare allo studio della derivata prima di $ e^(f(x)) $ che, in quanto funzione composta, sarà: $[e^(f(x))*f'(x)]$. $e^(f(x))$ è sempre positiva, ciò che determinerà il segno della derivata prima, sarà $f'(x)$, dunque la derivata prima di questo "esemplare" di funzione composta conserva le stesse caratteristiche della derivata prima della funzione "più interna". Giusto? Non sempre se compongo altre funzioni, come ad esempio $arccos(f(x))$ può succedere questo, giusto?
Per quanto riguarda l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione di due funzioni, cosa potrebbe succedere? Dovremmo, forse, considerare caso per caso, oppure possiamo fare un'approssimazione a livello di grafico, come hai detto tu nel caso del valore assoluto? Su wolframalpha ho notato che ad esempio $sinx-e^x$ e $sinx+e^x$ sembrano essere molto approssimativamente simmetriche rispetto all'asse x.
PS. Una domanda sciocca: su quale libro potrei trovare scritte queste cose? Su Marcellini Sbordone non ci sono...
innanzitutto ti ringrazio per la risposta
, pensavo che nessuno più mi rispondesse alla domanda :'(."Zero87":
Ho scritto "inoltre l'esponenziale - reale, ovvio! - è iniettivo e mantiene crescenza/decrescenza della funzione", in altre parole $ e^(f(x)) $ cresce se cresce $ f(x) $ ed è decrescente se decresce $ f(x) $ inoltre mantiene anche massimi/minimi.
... Sapresti dimostrarla questa cosa?
Poichè hai parlato di crescenza e decrescenza, subito mi viene da pensare allo studio della derivata prima di $ e^(f(x)) $ che, in quanto funzione composta, sarà: $[e^(f(x))*f'(x)]$. $e^(f(x))$ è sempre positiva, ciò che determinerà il segno della derivata prima, sarà $f'(x)$, dunque la derivata prima di questo "esemplare" di funzione composta conserva le stesse caratteristiche della derivata prima della funzione "più interna". Giusto? Non sempre se compongo altre funzioni, come ad esempio $arccos(f(x))$ può succedere questo, giusto?
Per quanto riguarda l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione di due funzioni, cosa potrebbe succedere? Dovremmo, forse, considerare caso per caso, oppure possiamo fare un'approssimazione a livello di grafico, come hai detto tu nel caso del valore assoluto? Su wolframalpha ho notato che ad esempio $sinx-e^x$ e $sinx+e^x$ sembrano essere molto approssimativamente simmetriche rispetto all'asse x.
PS. Una domanda sciocca: su quale libro potrei trovare scritte queste cose? Su Marcellini Sbordone non ci sono...
"SaraCapobianco":
Poichè hai parlato di crescenza e decrescenza, subito mi viene da pensare allo studio della derivata prima di $ e^(f(x)) $ che, in quanto funzione composta, sarà: $[e^(f(x))*f'(x)]$. $e^(f(x))$ è sempre positiva, ciò che determinerà il segno della derivata prima, sarà $f'(x)$, dunque la derivata prima di questo "esemplare" di funzione composta conserva le stesse caratteristiche della derivata prima della funzione "più interna". Giusto? Non sempre se compongo altre funzioni, come ad esempio $arccos(f(x))$ può succedere questo, giusto?
Sì, è giusto anche se non è necessario scomodare le derivate; la funzione $x \mapsto e^x$ è crescente, dunque se $f$ è crescente in qualche intervallo allora $x_1
"SaraCapobianco":
PS. Una domanda sciocca: su quale libro potrei trovare scritte queste cose? Su Marcellini Sbordone non ci sono...
In generale non si trovano sui libri; e tuttavia questo tipo di esercizio è utilissimo ed è una cosa che ti tornerà utile nei prossimi anni (raramente ti chiederanno di studiare per filo e per segno una funzione, di determinare esattamente il minimo, il flesso etc). Molto spesso serve (e si può fare) solo uno studio qualitativo.
Per dire, quando ho fatto Analisi I questa era la prima domanda all'orale per tutti. Ti chiedevano di studiare (anche solo sommariamente, appunto) una funzione (magari anche complicata; se non ricordo male mi avevano dato qualcosa del tipo $\exp(\sin(log x))$...) provando a fare ragionamenti qualitativi di questo tipo, essendo tassativamente vietate considerazioni su derivate, integrali etc.
In definitiva, è certamente buona cosa che tu prenda confidenza con questo genere di cose; la cosa migliore, secondo me, è farsi un sacco di esempi da soli, confrontando poi il risultato ottenuto con l'aiuto di qualche software. In alternativa, prendi un libro con un capitolo sullo studio di funzioni e svolgi gli esercizi proposti dapprima in modo qualitativo; in seguito, puoi controllare i risultati ottenuti compiendo uno studio più accurato.
"Paolo90":
[quote="SaraCapobianco"]PS. Una domanda sciocca: su quale libro potrei trovare scritte queste cose? Su Marcellini Sbordone non ci sono...
In generale non si trovano sui libri; e tuttavia questo tipo di esercizio è utilissimo ed è una cosa che ti tornerà utile nei prossimi anni (raramente ti chiederanno di studiare per filo e per segno una funzione, di determinare esattamente il minimo, il flesso etc). Molto spesso serve (e si può fare) solo uno studio qualitativo.[/quote]
Ho visto che solo al liceo scientifico - e non tutti tra l'altro - si fanno queste cose. Cercando su google "grafici deducibili" si dovrebbe avere qualche risultato interessante. Per es. ho trovato questo schema riassuntivo praticamente di tutti i casi
http://www.webliceo.it/pluginfile.php/4 ... cibili.pdf
Quoto senz'altro la risposta di Paolo90 riguardo all'utilità.
Al quinto anno di liceo il prof. mi chiese in un'interrogazione di studiare (ovviamente in modo approssimativo)
$log_(1/2) |\frac{x+1}{x+2}|$
e lo feci per passaggi successivi con i grafici deducibili (avevamo i gessetti colorati
) impiegandoci meno di mezz'ora. A farlo con lo studio generico avrei finito il giorno dopo..."Paolo90":
Sì, è giusto anche se non è necessario scomodare le derivate; la funzione $ x \mapsto e^x $ è crescente, dunque se $ f $ è crescente in qualche intervallo allora $ x_1. Naturalmente lo stesso discorso vale componendo con altre funzioni monotone.
Yes, ma con le derivate è mooolto più immediata la cosa.
Dimenticavo (@sara.capobianco)
Hai scritto $D(e^(f(x)))=e^(f(x)) [e^(f(x)) f'(x)]$, c'è un $e^(f(x))$ di troppo (anche se la conclusione è sempre la stessa).
La derivata di funzione composta è $D(g(f(x)))= g'(f(x)) f'(x)$.
[Con "$D$" indico il simbolo di derivata.]
"Zero87":Zero87, nella mia risposta, il secondo era un punto di interpunzione fermo
Hai scritto D(ef(x))=ef(x)[ef(x)f'(x)], c'è un ef(x) di troppo (anche se la conclusione è sempre la stessa).
, non era il segno di prodotto Ringrazio anche te per la risposta e per il materiale che hai linkato.
"SaraCapobianco":
Zero87, nella mia risposta, il secondo era un punto di interpunzione fermo
M'ha confuso la prospettiva!
Sorry!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo