Comportamento successione a più infinito

Sk_Anonymous
Ciao, non ho capito perchè, se n tende a più infinito, la successione $a_n=((n+5)!)/(n!+5)$ si comporta come $n^5$. Grazie per la spiegazione

Risposte
Rigel1
$(n+5)! = [(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)]\cdot (n!)$.

Camillo
Perchè $a_n = ((n+5)!)/((n!)+5) = ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/((n!)+5) $
Quando $ n rarr +oo $ allora $a_n $ è asintotico a $((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/(n!)= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) $e quindi si comporta come $n^5 $

Sk_Anonymous
"Camillo":
Perchè $a_n = ((n+5)!)/((n!)+5) = ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/((n!)+5) $
Quando $ n rarr +oo $ allora $a_n $ è asintotico a $((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/(n!)= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) $e quindi si comporta come $n^5 $

ok, mi è tutto chiaro, a parte due cose:
1) Perchè nello sviluppo del fattoriale di $n+5$, alla fine, risulta $n!$?
2)$((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/(n!)= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)$ è asintotico a $n^5$ perchè le costanti nelle varie parentesi sono trascurabili, e quindi ho $n*n*n*n*n=n^5$?

Sk_Anonymous
non riesco a capire perchè, ancora, sbaglio nel calcolare i limiti di successioni.
Per esempio, sia $a_n=nsin(((n^2(n+1)+2)*pi)/n)$. Devo calcolarne il limite per n che tende a +infinito.
Il mio ragionamento, è, come al solito, errato. Io ho ragionato così: ho riscritto il numeratore come $(pi*n^3+pin^2+2pi)/n$
Ora, siccome devo considerare soltanto gli elementi che tendono a infinito più velocemente, l'argomento del seno si comporta come $pi*n^2$. Di conseguenza, il limite diventa: $ lim_(n -> +oo ) $ $nsin(pi*n^2)$, e, siccome ho il prodotto di una successione divergente per una limitata, il limite non esiste. Non ho capito dove continuo a sbagliare, e vi sarei grato se qualcuno mi spiegasse una volta per tutte come si fa e quali errori commetto, grazie

Il libro dice che il limite è $2pi$, facendo un procedimento che assolutamente non condivido, vi scrivo come dice:
"Osserviamo che valgono le seguenti uguaglianze:
$sin((n^2(n+1)+2)pi/n)=sin((n(n+1)pi+(2pi/n))=sin(2pi/n)$, dato che $n(n+1)pi$ è un multiplo pari di $pi$, qualunque sia $n$. Si ha, quindi, $ lim_(n -> +oo ) $ $a_n$=$ lim_(n -> +oo ) $$nsin(2pi/n)=2pi$ (applicando il noto limite notevole). Ho fatto anche un grafico al computer e si vede che la funzione oscilla da matti, quindi il limite non esiste

Ma $2pi/n $ non tende a 0 è va trascurato? Boh...

Sk_Anonymous
nessuno può aiutarmi?

Rigel1
Sono d'accordo con ciò che dice il libro.
Quale funzione oscilla da matti?

Sk_Anonymous
non ho capito perchè il mio ragionamento è sbagliato: l'argomento del seno si comporta come $pi*n^2$ o sbaglio? Quindi ho il prodotto di una successione divergente, $n$, moltiplicata per il $sin(pi*n^2)$, che non ha limite, poichè le oscillazioni diventano sempre più grandi. Dove ho sbagliato?

Sk_Anonymous
"Rigel":
Sono d'accordo con ciò che dice il libro.
Quale funzione oscilla da matti?

Considerando anzichè la successione $a_n$, la rispettiva funzione $f(x)$, e tracciandone un grafico con un software la funzione oscilla vistosamente, quindi non ha limite, o no?
http://i54.tinypic.com/2nknczd.jpg

Rigel1
C'è un errore nel tuo ragionamento.
Dal momento che $\sin(n^2\pi) = 0$ per ogni $n$, tale successione non è oscillante (vale sempre $0$...).
La funzione $f(x) = \sin(x)$, $x\in\mathbb{R}$, è oscillante e non ammette limite per $x\to +\infty$; particolari restrizioni (come quella sopra), tuttavia, possono tranquillamente ammettere limite.

Camillo
Il termine $n*sin(2pi/n) $ non può essere trascurato , è del tipo $oo*0 $ e si può riscrivere come $2pi*sin(2pi/n)/(2pi/n)$ il cui limite è appunto $2pi $.
Mi sembrava di avere risposto ai tuoi punti 1, 2 di post precedente ma non devo aver dato conferma di invio :
1) vedilo nel caso più semplice : $(n+1)! =(n+1)(n)(n-1)....3*2*1 = (n+1)*n! $
2)sì è per quello che hai detto fondamentalmente , da ricordare che non sono eguaglianze matematiche strette ma comportamenti asintotici all'$oo $ assimilabili l'un l'altro

Sk_Anonymous
"Rigel":
C'è un errore nel tuo ragionamento.
Dal momento che $\sin(n^2\pi) = 0$ per ogni $n$, tale successione non è oscillante (vale sempre $0$...).
La funzione $f(x) = \sin(x)$, $x\in\mathbb{R}$, è oscillante e non ammette limite per $x\to +\infty$; particolari restrizioni (come quella sopra), tuttavia, possono tranquillamente ammettere limite.

ahhhhhhhh, quindi il pigreco fa si che, per qualsiasi n, quello che sta nell'argomento del seno sia multiplo di pigreco e quindi il seno si annulli. Ok, grazie, però, se non ci fosse stato quel maledetto pigreco, il mio ragionamento sarebbe stato corretto?

Rigel1
No, bisogna vedere caso per caso.

Sk_Anonymous
volevo chiedervi altre 2 cose:
1) $cos(pi+arctan(n!))=cos(arctan(n!))$ perchè il pigreco è come se non ci fosse, dal momento che essa è periodica di pigreco?
2) da dove viene fuori la relazione $arctanx+arctan(1/x)=pi/2$?

Rigel1
1) Il coseno è periodico con periodo $2\pi$, non $\pi$.

2) Quella relazione è valida solo per $x>0$; per dimostrarla ti basta far vedere che la funzione $f(x) = \arctan x + \arctan(1/x)$ ha derivata nulla per ogni $x\ne 0$ (dunque è constante in ogni intervallo contenuto nel suo dominio) e che $f(1) = \pi / 2$.

Sk_Anonymous
ok, grazie...volevo sapere, se ho un'espressione del tipo $(n+1)^n$ e ne devo studiare il comportamento a più infinito, posso dire che essa si comporta come $n^n$, trascurando dunque l'1 che sta nella base, oppure commetto un errore?

Camillo
Senz'altro all' $oo $ si comporta come $ n^n $ , in quanto $+1$ diventa trascurabile rispetto ad $ n $ .

Sk_Anonymous
okok, però, se traccio i grafici di $x^x$ e $(x+1)^x$ vedo che le funzioni rimangono molto distanziate, anche all'infinito...
http://i55.tinypic.com/11s03km.png

Comunque, ecco un altro limite di successione:
$a_n=((n^(n+1)+3(n+1)^(n+1))/(n^n+n!))*sin(pi/n)

Come al solito, ho sbagliato di nuovo:
Allora, ho semplificato il seno sostituendolo con la scritta $(pi/n)$, dal momento che, per n tendente all'infinito, il suo argomento tende a 0. Il limite è, dunque:
$ lim_(n -> +oo ) $ $((n^n*n+3((n+1)^n*(n+1)))/(n^n))*(pi/n)
Moltiplicando pigrceo su enne all'interno, ho: $(n^n*pi+(3pi/n)((n+1)^n*(n+1)))/(n^n).
A questo punto ho semplicato $(n+1)^n*(n+1)$ con $n*n^n$, poi ho semplificato l'$n$ di quest'ultima espressione con il denominatore di $pi$ ed il risultato del limite mi esce $4pi$, a differenza del libro...ancora una volta ho sbagliato qualche ragionamento.

Il libro mette in evidenza $n^(n+1)$, e facendolo così mi esce, però perchè io ho sbagliato?

Sk_Anonymous
qualcuno può dirmi perchè ho sbagliato?

Rigel1
L'errore sta nel fatto che $(n+1)^n / n^n$ non tende a $1$ ma, com'è noto, a $e$:
$a_n \sim \frac{n^{n+1} [ 1 + 3(\frac{n+1}{n})^{n+1}]}{n^n} \cdot \frac{\pi}{n} = \pi [ 1 + 3(1+\frac{1}{n})^{n+1}] \to \pi (1 + 3 e)$

Sk_Anonymous
ok, pare sia tutto ok, non "avevo visto" il limite notevole...grazie

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