Comportamento successione a più infinito
Ciao, non ho capito perchè, se n tende a più infinito, la successione $a_n=((n+5)!)/(n!+5)$ si comporta come $n^5$. Grazie per la spiegazione
Risposte
$(n+5)! = [(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)]\cdot (n!)$.
Perchè $a_n = ((n+5)!)/((n!)+5) = ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/((n!)+5) $
Quando $ n rarr +oo $ allora $a_n $ è asintotico a $((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/(n!)= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) $e quindi si comporta come $n^5 $
Quando $ n rarr +oo $ allora $a_n $ è asintotico a $((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/(n!)= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) $e quindi si comporta come $n^5 $
"Camillo":
Perchè $a_n = ((n+5)!)/((n!)+5) = ((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/((n!)+5) $
Quando $ n rarr +oo $ allora $a_n $ è asintotico a $((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/(n!)= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) $e quindi si comporta come $n^5 $
ok, mi è tutto chiaro, a parte due cose:
1) Perchè nello sviluppo del fattoriale di $n+5$, alla fine, risulta $n!$?
2)$((n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1) n!)/(n!)= (n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)$ è asintotico a $n^5$ perchè le costanti nelle varie parentesi sono trascurabili, e quindi ho $n*n*n*n*n=n^5$?
non riesco a capire perchè, ancora, sbaglio nel calcolare i limiti di successioni.
Per esempio, sia $a_n=nsin(((n^2(n+1)+2)*pi)/n)$. Devo calcolarne il limite per n che tende a +infinito.
Il mio ragionamento, è, come al solito, errato. Io ho ragionato così: ho riscritto il numeratore come $(pi*n^3+pin^2+2pi)/n$
Ora, siccome devo considerare soltanto gli elementi che tendono a infinito più velocemente, l'argomento del seno si comporta come $pi*n^2$. Di conseguenza, il limite diventa: $ lim_(n -> +oo ) $ $nsin(pi*n^2)$, e, siccome ho il prodotto di una successione divergente per una limitata, il limite non esiste. Non ho capito dove continuo a sbagliare, e vi sarei grato se qualcuno mi spiegasse una volta per tutte come si fa e quali errori commetto, grazie
Il libro dice che il limite è $2pi$, facendo un procedimento che assolutamente non condivido, vi scrivo come dice:
"Osserviamo che valgono le seguenti uguaglianze:
$sin((n^2(n+1)+2)pi/n)=sin((n(n+1)pi+(2pi/n))=sin(2pi/n)$, dato che $n(n+1)pi$ è un multiplo pari di $pi$, qualunque sia $n$. Si ha, quindi, $ lim_(n -> +oo ) $ $a_n$=$ lim_(n -> +oo ) $$nsin(2pi/n)=2pi$ (applicando il noto limite notevole). Ho fatto anche un grafico al computer e si vede che la funzione oscilla da matti, quindi il limite non esiste
Ma $2pi/n $ non tende a 0 è va trascurato? Boh...
Per esempio, sia $a_n=nsin(((n^2(n+1)+2)*pi)/n)$. Devo calcolarne il limite per n che tende a +infinito.
Il mio ragionamento, è, come al solito, errato. Io ho ragionato così: ho riscritto il numeratore come $(pi*n^3+pin^2+2pi)/n$
Ora, siccome devo considerare soltanto gli elementi che tendono a infinito più velocemente, l'argomento del seno si comporta come $pi*n^2$. Di conseguenza, il limite diventa: $ lim_(n -> +oo ) $ $nsin(pi*n^2)$, e, siccome ho il prodotto di una successione divergente per una limitata, il limite non esiste. Non ho capito dove continuo a sbagliare, e vi sarei grato se qualcuno mi spiegasse una volta per tutte come si fa e quali errori commetto, grazie
Il libro dice che il limite è $2pi$, facendo un procedimento che assolutamente non condivido, vi scrivo come dice:
"Osserviamo che valgono le seguenti uguaglianze:
$sin((n^2(n+1)+2)pi/n)=sin((n(n+1)pi+(2pi/n))=sin(2pi/n)$, dato che $n(n+1)pi$ è un multiplo pari di $pi$, qualunque sia $n$. Si ha, quindi, $ lim_(n -> +oo ) $ $a_n$=$ lim_(n -> +oo ) $$nsin(2pi/n)=2pi$ (applicando il noto limite notevole). Ho fatto anche un grafico al computer e si vede che la funzione oscilla da matti, quindi il limite non esiste
Ma $2pi/n $ non tende a 0 è va trascurato? Boh...
nessuno può aiutarmi?
Sono d'accordo con ciò che dice il libro.
Quale funzione oscilla da matti?
Quale funzione oscilla da matti?
non ho capito perchè il mio ragionamento è sbagliato: l'argomento del seno si comporta come $pi*n^2$ o sbaglio? Quindi ho il prodotto di una successione divergente, $n$, moltiplicata per il $sin(pi*n^2)$, che non ha limite, poichè le oscillazioni diventano sempre più grandi. Dove ho sbagliato?
"Rigel":
Sono d'accordo con ciò che dice il libro.
Quale funzione oscilla da matti?
Considerando anzichè la successione $a_n$, la rispettiva funzione $f(x)$, e tracciandone un grafico con un software la funzione oscilla vistosamente, quindi non ha limite, o no?
http://i54.tinypic.com/2nknczd.jpg
C'è un errore nel tuo ragionamento.
Dal momento che $\sin(n^2\pi) = 0$ per ogni $n$, tale successione non è oscillante (vale sempre $0$...).
La funzione $f(x) = \sin(x)$, $x\in\mathbb{R}$, è oscillante e non ammette limite per $x\to +\infty$; particolari restrizioni (come quella sopra), tuttavia, possono tranquillamente ammettere limite.
Dal momento che $\sin(n^2\pi) = 0$ per ogni $n$, tale successione non è oscillante (vale sempre $0$...).
La funzione $f(x) = \sin(x)$, $x\in\mathbb{R}$, è oscillante e non ammette limite per $x\to +\infty$; particolari restrizioni (come quella sopra), tuttavia, possono tranquillamente ammettere limite.
Il termine $n*sin(2pi/n) $ non può essere trascurato , è del tipo $oo*0 $ e si può riscrivere come $2pi*sin(2pi/n)/(2pi/n)$ il cui limite è appunto $2pi $.
Mi sembrava di avere risposto ai tuoi punti 1, 2 di post precedente ma non devo aver dato conferma di invio :
1) vedilo nel caso più semplice : $(n+1)! =(n+1)(n)(n-1)....3*2*1 = (n+1)*n! $
2)sì è per quello che hai detto fondamentalmente , da ricordare che non sono eguaglianze matematiche strette ma comportamenti asintotici all'$oo $ assimilabili l'un l'altro
Mi sembrava di avere risposto ai tuoi punti 1, 2 di post precedente ma non devo aver dato conferma di invio :
1) vedilo nel caso più semplice : $(n+1)! =(n+1)(n)(n-1)....3*2*1 = (n+1)*n! $
2)sì è per quello che hai detto fondamentalmente , da ricordare che non sono eguaglianze matematiche strette ma comportamenti asintotici all'$oo $ assimilabili l'un l'altro
"Rigel":
C'è un errore nel tuo ragionamento.
Dal momento che $\sin(n^2\pi) = 0$ per ogni $n$, tale successione non è oscillante (vale sempre $0$...).
La funzione $f(x) = \sin(x)$, $x\in\mathbb{R}$, è oscillante e non ammette limite per $x\to +\infty$; particolari restrizioni (come quella sopra), tuttavia, possono tranquillamente ammettere limite.
ahhhhhhhh, quindi il pigreco fa si che, per qualsiasi n, quello che sta nell'argomento del seno sia multiplo di pigreco e quindi il seno si annulli. Ok, grazie, però, se non ci fosse stato quel maledetto pigreco, il mio ragionamento sarebbe stato corretto?
No, bisogna vedere caso per caso.
volevo chiedervi altre 2 cose:
1) $cos(pi+arctan(n!))=cos(arctan(n!))$ perchè il pigreco è come se non ci fosse, dal momento che essa è periodica di pigreco?
2) da dove viene fuori la relazione $arctanx+arctan(1/x)=pi/2$?
1) $cos(pi+arctan(n!))=cos(arctan(n!))$ perchè il pigreco è come se non ci fosse, dal momento che essa è periodica di pigreco?
2) da dove viene fuori la relazione $arctanx+arctan(1/x)=pi/2$?
1) Il coseno è periodico con periodo $2\pi$, non $\pi$.
2) Quella relazione è valida solo per $x>0$; per dimostrarla ti basta far vedere che la funzione $f(x) = \arctan x + \arctan(1/x)$ ha derivata nulla per ogni $x\ne 0$ (dunque è constante in ogni intervallo contenuto nel suo dominio) e che $f(1) = \pi / 2$.
2) Quella relazione è valida solo per $x>0$; per dimostrarla ti basta far vedere che la funzione $f(x) = \arctan x + \arctan(1/x)$ ha derivata nulla per ogni $x\ne 0$ (dunque è constante in ogni intervallo contenuto nel suo dominio) e che $f(1) = \pi / 2$.
ok, grazie...volevo sapere, se ho un'espressione del tipo $(n+1)^n$ e ne devo studiare il comportamento a più infinito, posso dire che essa si comporta come $n^n$, trascurando dunque l'1 che sta nella base, oppure commetto un errore?
Senz'altro all' $oo $ si comporta come $ n^n $ , in quanto $+1$ diventa trascurabile rispetto ad $ n $ .
okok, però, se traccio i grafici di $x^x$ e $(x+1)^x$ vedo che le funzioni rimangono molto distanziate, anche all'infinito...
http://i55.tinypic.com/11s03km.png
Comunque, ecco un altro limite di successione:
$a_n=((n^(n+1)+3(n+1)^(n+1))/(n^n+n!))*sin(pi/n)
Come al solito, ho sbagliato di nuovo:
Allora, ho semplificato il seno sostituendolo con la scritta $(pi/n)$, dal momento che, per n tendente all'infinito, il suo argomento tende a 0. Il limite è, dunque:
$ lim_(n -> +oo ) $ $((n^n*n+3((n+1)^n*(n+1)))/(n^n))*(pi/n)
Moltiplicando pigrceo su enne all'interno, ho: $(n^n*pi+(3pi/n)((n+1)^n*(n+1)))/(n^n).
A questo punto ho semplicato $(n+1)^n*(n+1)$ con $n*n^n$, poi ho semplificato l'$n$ di quest'ultima espressione con il denominatore di $pi$ ed il risultato del limite mi esce $4pi$, a differenza del libro...ancora una volta ho sbagliato qualche ragionamento.
Il libro mette in evidenza $n^(n+1)$, e facendolo così mi esce, però perchè io ho sbagliato?
http://i55.tinypic.com/11s03km.png
Comunque, ecco un altro limite di successione:
$a_n=((n^(n+1)+3(n+1)^(n+1))/(n^n+n!))*sin(pi/n)
Come al solito, ho sbagliato di nuovo:
Allora, ho semplificato il seno sostituendolo con la scritta $(pi/n)$, dal momento che, per n tendente all'infinito, il suo argomento tende a 0. Il limite è, dunque:
$ lim_(n -> +oo ) $ $((n^n*n+3((n+1)^n*(n+1)))/(n^n))*(pi/n)
Moltiplicando pigrceo su enne all'interno, ho: $(n^n*pi+(3pi/n)((n+1)^n*(n+1)))/(n^n).
A questo punto ho semplicato $(n+1)^n*(n+1)$ con $n*n^n$, poi ho semplificato l'$n$ di quest'ultima espressione con il denominatore di $pi$ ed il risultato del limite mi esce $4pi$, a differenza del libro...ancora una volta ho sbagliato qualche ragionamento.
Il libro mette in evidenza $n^(n+1)$, e facendolo così mi esce, però perchè io ho sbagliato?
qualcuno può dirmi perchè ho sbagliato?
L'errore sta nel fatto che $(n+1)^n / n^n$ non tende a $1$ ma, com'è noto, a $e$:
$a_n \sim \frac{n^{n+1} [ 1 + 3(\frac{n+1}{n})^{n+1}]}{n^n} \cdot \frac{\pi}{n} = \pi [ 1 + 3(1+\frac{1}{n})^{n+1}] \to \pi (1 + 3 e)$
$a_n \sim \frac{n^{n+1} [ 1 + 3(\frac{n+1}{n})^{n+1}]}{n^n} \cdot \frac{\pi}{n} = \pi [ 1 + 3(1+\frac{1}{n})^{n+1}] \to \pi (1 + 3 e)$
ok, pare sia tutto ok, non "avevo visto" il limite notevole...grazie
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