Comportamento serie al variare del parametro x
Studiare il carattere della serie al variare del parametro x.
$∑((cos x + 1/2)^n)/n$
Con n che va da 1 a infinito.
Ora io ho pensato che l'unico modo fosse valutare i tre casi particolari del coseno cioè dove mi va a 1,0,-1
Quindi
Per x=0 --> cos(x)=1
$∑((1+1/2)^n)/n$
Studio il termine generale e vedo che effettivamente non tende a 0, non obbedendo alla condizione necessaria di convergenza della serie, inoltre noto che è una serie a termini positivi; ergo la serie mi diverge.
Ora studio il caso $x=pi/2=3/2pi$
Vedo che per suddetti valori cos(x)=0
Il termine generale tende a zero, obbedendo alla condizione necessaria per convergenza della serie, a questo punto per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata concludo che la serie converge.
Discorso completamente analogo per x=pi --> cos(x)=-1
Anche in questo caso il termine generale tende a 0, e per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata concludo che la serie converge.
$∑((cos x + 1/2)^n)/n$
Con n che va da 1 a infinito.
Ora io ho pensato che l'unico modo fosse valutare i tre casi particolari del coseno cioè dove mi va a 1,0,-1
Quindi
Per x=0 --> cos(x)=1
$∑((1+1/2)^n)/n$
Studio il termine generale e vedo che effettivamente non tende a 0, non obbedendo alla condizione necessaria di convergenza della serie, inoltre noto che è una serie a termini positivi; ergo la serie mi diverge.
Ora studio il caso $x=pi/2=3/2pi$
Vedo che per suddetti valori cos(x)=0
Il termine generale tende a zero, obbedendo alla condizione necessaria per convergenza della serie, a questo punto per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata concludo che la serie converge.
Discorso completamente analogo per x=pi --> cos(x)=-1
Anche in questo caso il termine generale tende a 0, e per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata concludo che la serie converge.
Risposte
E gli infiniti valori di \(x\) che restano?
Li infili sotto al tappeto?
Li infili sotto al tappeto?
Scusate, il termine x varia in $[0;2pi]$ mi sono dimenticato di dirvelo.
Ma pensavo che anche se così non fosse coseno è una funzione periodica che va da -1 a 1... X volendo può essere anche $1000pi$, per dire ma sempre tra quei due estremi oscilla. O sbaglio io il mio ragionamento?
Ma pensavo che anche se così non fosse coseno è una funzione periodica che va da -1 a 1... X volendo può essere anche $1000pi$, per dire ma sempre tra quei due estremi oscilla. O sbaglio io il mio ragionamento?
Si il tuo ragionamento è giusto qui l'unico problema da porti è quando $|\cos(x)+1/2|<1$ solo in questo caso la serie converge perché può essere tranquillamente maggiorata con una serie geometrica di ragione $\cos(x)+1/2$ appunto.
Nel caso invece in cui $\cos(x)+1/2=1$ si ottiene la serie armonica e con valori maggiori di 1 la condizione necessario non è soddisfatta.
Nel caso invece in cui $\cos(x)+1/2=1$ si ottiene la serie armonica e con valori maggiori di 1 la condizione necessario non è soddisfatta.
Il ragionamento non è completo, perchè non si capisce come leghi la convergenza in \(0,\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3}{2}\pi\) con quella negli altri valori; quindi non si può dire se esso è corretto o meno.
Termina di esporlo e poi se ne parla.
Termina di esporlo e poi se ne parla.
Scusate ma allora non capisco... C'ho pensato un po' ma non capisco quindi come procedere alternativamente.
Potete darmi la dritta voi?
Potete darmi la dritta voi?
Cioè o meglio io distinguo i tre casi...
$(cos(x)+1/2) > 1 $ la serie diverge
$(cos(x)+1/2) =< 1$ la serie converge, no?
$(cos(x)+1/2) > 1 $ la serie diverge
$(cos(x)+1/2) =< 1$ la serie converge, no?
La serie non converge se $\cos(x)+1/2=1$ infatti viene fuori la serie armonica.
I casi da studiare sono:
$\cos(x)+1/2 \geq 1$ (diverge perché?)
$-1/2 \leq cos(x)+1/2 <1$ (converge perché?)
In pratica devi svolgere disequazioni goniometriche
I casi da studiare sono:
$\cos(x)+1/2 \geq 1$ (diverge perché?)
$-1/2 \leq cos(x)+1/2 <1$ (converge perché?)
In pratica devi svolgere disequazioni goniometriche
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