Comportamento di una funzione intera all'infinito
Come da titolo, vi pongo questa domanda: come si comporta una funzione intera all'infinito?
Mi son risposto che ci sono tre possibilità ( e fin qui credo di non aver sbagliato
), ovvero tre possibili singolarità:
-eliminabile: per il teorema di Liouville f è limitata e dunque è costante;
-essenziale: c'è questa casistica? Mi viene a mente dal caso reale il seno o il coseno, che nel piano complesso posso vederli con la formula di eulero ($senz = ( e^(i*z) - e ^(-i*z) ) / 2*i$) e per z che in norma tende a infinito non mi sembra ben definito il limite... giusto?
- c'è un polo: ecco il succo della questione! Oggi pensavo a questo caso per via di un esercizio, e sono arrivato a dire: f intera su $CC$ con un polo di ordine $n$ all'infinito --> f la estendo a una funzione meromorfa sul $P^1(CC)$ --> le meromorfe sul $P^1(CC)$ sono le fratte... e fin qui tutto ok vero? Adesso devo dimostrare che f è un polinomio... io avrei concluso a questo modo:
"se f è meromorfa, allora è rapporto di due polinomi... se per assurdo il denominatore avesse una radice complessa $z$, allora avrei un polo in $z in CC$, ma questo è assurdo perchè f è intera e dunque olomorfa su tutto $CC$ (quindi escludo poli nel piano senza il punto all'infinito)... se il denominatore non ha radici, visto che siamo in $CC$ è una costante e dunque f è un polinomio"
Quanto ho barato? Cioè il mio dubbio è: è vero che le funzioni intere con polo di ordine n all'infinito sono tutti (e forse va aggiunto: e soli) i polinomi di grado n?
Mi son risposto che ci sono tre possibilità ( e fin qui credo di non aver sbagliato
), ovvero tre possibili singolarità:-eliminabile: per il teorema di Liouville f è limitata e dunque è costante;
-essenziale: c'è questa casistica? Mi viene a mente dal caso reale il seno o il coseno, che nel piano complesso posso vederli con la formula di eulero ($senz = ( e^(i*z) - e ^(-i*z) ) / 2*i$) e per z che in norma tende a infinito non mi sembra ben definito il limite... giusto?
- c'è un polo: ecco il succo della questione! Oggi pensavo a questo caso per via di un esercizio, e sono arrivato a dire: f intera su $CC$ con un polo di ordine $n$ all'infinito --> f la estendo a una funzione meromorfa sul $P^1(CC)$ --> le meromorfe sul $P^1(CC)$ sono le fratte... e fin qui tutto ok vero? Adesso devo dimostrare che f è un polinomio... io avrei concluso a questo modo:
"se f è meromorfa, allora è rapporto di due polinomi... se per assurdo il denominatore avesse una radice complessa $z$, allora avrei un polo in $z in CC$, ma questo è assurdo perchè f è intera e dunque olomorfa su tutto $CC$ (quindi escludo poli nel piano senza il punto all'infinito)... se il denominatore non ha radici, visto che siamo in $CC$ è una costante e dunque f è un polinomio"
Quanto ho barato? Cioè il mio dubbio è: è vero che le funzioni intere con polo di ordine n all'infinito sono tutti (e forse va aggiunto: e soli) i polinomi di grado n?
Risposte
Nessuno ha idee in merito? Soprattutto mi interessa sapere se il mio ragionamento nell'esercizio specifico è giusto o c'è qualche falla...
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