Comportamento di succ. e funzioni
Studiando funzioni e successioni mi sono posto alcuni problemi che vorrei risolvere.
1_ $ log(x^3 + 1)/ x $ per $ x -> oo $ quanto fa la funzione? mi verrebbe da dire zero ma mi manca il motivo
2_ $ x/(1/log(x)) $ per $ x -> 0 $ quanto fa la funzione?
3_ $ e^(1/n^3) - 1 \sim (1/n^3) $ perchè?
4_ $ arctg(1/(2n + 1)) \sim 1/(2n + 1) $ perchè?
5_ $ log(1 + 1/n) \sim 1/n $ perchè?
G R A Z I E !
1_ $ log(x^3 + 1)/ x $ per $ x -> oo $ quanto fa la funzione? mi verrebbe da dire zero ma mi manca il motivo
2_ $ x/(1/log(x)) $ per $ x -> 0 $ quanto fa la funzione?
3_ $ e^(1/n^3) - 1 \sim (1/n^3) $ perchè?
4_ $ arctg(1/(2n + 1)) \sim 1/(2n + 1) $ perchè?
5_ $ log(1 + 1/n) \sim 1/n $ perchè?
G R A Z I E !
Risposte
"Mrs92":
Studiando funzioni e successioni mi sono posto alcuni problemi che vorrei risolvere.
1_ $ log(x^3 + 1)/ x $ per $ x -> oo $ quanto fa la funzione? mi verrebbe da dire zero ma mi manca il motivo
2_ $ x/(1/log(x)) $ per $ x -> 0 $ quanto fa la funzione?
3_ $ e^(1/n^3) - 1 \sim (1/n^3) $ perchè?
4_ $ arctg(1/(2n + 1)) \sim 1/(2n + 1) $ perchè?
5_ $ log(1 + 1/n) \sim 1/n $ perchè?
G R A Z I E !
Cercherò di spiegarti
allora nel
numero 1, il limite viene zero perchè all'infinito la retta batte il logaritmo (qualsiasi sia l'argomento)
numero 3 applica la definizione di asintotico, la sua definizione è $f(x)\sim g(x)\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}(f(x))/(g(x))=1$
numero 4 l'argotangente di una cosa infinitesima è asintotica alla cosa infinitesima, stessa cosa per il numero 5
Negli ultimi esercizi il 4 e il 5 prova ad applicare la definizione di asintotico e te ne accorgi subito!
Per il numero 2 puoi vederlo così $x \cdot \ln(x)$ poi fai la sostituzione $x=1/t$ per cui $t\rightarrow+\infty$ ed hai che fa zero
se hai dubbi chiedi pure.
(qualsiasi sia l'argomento)
Grazie, questo mi serviva sapere, hai fugato ogni mio dubbio in proposito.
Per il numero 2....
perfetto grazie.
applica la definizione di asintotico
Conosco la definizione e gli usi generali ma in questo particolare caso non riesco a raccapezzarmi, mi servirebbero ulteriori chiarimenti
l'argotangente di una cosa infinitesima è asintotica alla cosa infinitesima
ok per il logaritmo al numero 5, ma per l'arcotangente non riesco a figurarmelo
UP
Scusa, 21zuclo, se mi intrometto, ma visto che si tratta di una delle poche volte che posso dire qualcosa... intervengo anche perché, in questa stagione, molti sono in giro e magari non si accede spesso a Internet...
Sostituendo a $1/(2n+1)$ e a $1/n$ la variabile $t\in RR$ -infatti è comodo sostituire $x\in RR$ a $n\in NN$ perché, se il limite vale per $x->+oo$ per ogni $x\in RR$ vale anche per $n->oo$ con $n\inNN$, e poi sostituisci ancora $t\in RR$, che tende a 0, a $1/(2x+1)$ e a $1/x$ nei limiti per $x->+oo$- hai, applicando la regola di de l'Hôpital, che
$\lim_{t \to 0}("arctg"t)/t=\lim_{t \to 0}(1/(1+t^2))/1=1$ e
$\lim_{t \to 0}(\ln(1+t))/t=\lim_{t \to 0}(1/(1+t))/1=1$.
Ciao!
"Mrs92":
ok per il logaritmo al numero 5, ma per l'arcotangente non riesco a figurarmelo
Sostituendo a $1/(2n+1)$ e a $1/n$ la variabile $t\in RR$ -infatti è comodo sostituire $x\in RR$ a $n\in NN$ perché, se il limite vale per $x->+oo$ per ogni $x\in RR$ vale anche per $n->oo$ con $n\inNN$, e poi sostituisci ancora $t\in RR$, che tende a 0, a $1/(2x+1)$ e a $1/x$ nei limiti per $x->+oo$- hai, applicando la regola di de l'Hôpital, che
$\lim_{t \to 0}("arctg"t)/t=\lim_{t \to 0}(1/(1+t^2))/1=1$ e
$\lim_{t \to 0}(\ln(1+t))/t=\lim_{t \to 0}(1/(1+t))/1=1$.
Ciao!
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