Componente radiale dell’accelerazione
Data una curva $phi:J->RR^n$ derivabile in $J$ due volte.
È noto che $vec(a)=vec(a_R)+vec(a_T)$ dove $vec(a_R)*vec(a_T)=0,forallt inJ$ e $vec(a_T)$ è parallela alla velocità e $vec(a_R)$ normale alla velocità.
È vero che se $vec(a_R)ne0wedgevec(a_T)=0,forall t inJ$ allora il moto è circolare?
Non riesco nè a dimostrarlo, nè a confutarlo...
È noto che $vec(a)=vec(a_R)+vec(a_T)$ dove $vec(a_R)*vec(a_T)=0,forallt inJ$ e $vec(a_T)$ è parallela alla velocità e $vec(a_R)$ normale alla velocità.
È vero che se $vec(a_R)ne0wedgevec(a_T)=0,forall t inJ$ allora il moto è circolare?
Non riesco nè a dimostrarlo, nè a confutarlo...
Risposte
Analizzando il problema da un punto di vista fisico se $vec(a_R)ne0wedgevec(a_T)=0,forall t inJ$ puoi dire che il moto è uniforme perché modifica il vettore velocità solo in direzione e verso, ma per affermare che il moto sia circolare devi avere accelerazione radiale costante, diversamente potrebbe essere una spirale o un'onda.
Supponiamo che nelle ipotesi precedenti $||vec(a_R)||$ sia costante in ogni punto.
Da questo dovrei dimostrare che il vettore spostamento abbia a che fare con la circonferenza, è questo poi ci provo.
Per l’altro ho provato a trovare un controesempio come la spirale di Archimede ma nisba.
Da questo dovrei dimostrare che il vettore spostamento abbia a che fare con la circonferenza, è questo poi ci provo.
Per l’altro ho provato a trovare un controesempio come la spirale di Archimede ma nisba.
Certo che sarebbe meglio abbassare un po' le dimensioni dello spazio...se tu riesci a vedere le accelerazioni nello spazio 5-dimensionale...nello spazio si puó dimostrare che una curva con una data curvatura e una data torsione è unica a meno di spostamenti rigidi, nel piano si puó dimostrare che una curva con curvatura costante è un arco di circonferenza, nello spazio le cose sono in po' piu complicate perché c'entra anche la torsione, se la torsione è costante allora la curva è una spirale, se la.curvatura non è costante la curva puó avere le forme piú disparate.
Mi stavo dilettando sul classificare le possibili curve al variare di accelerazione radiale e tangenziale.
Visto che in un intervallo di tempo infinitesimo la variazione di velocità scalare è collegata alla accelerazione tangenziale e la variazione di direzione è collegata all’accelerazione radiale.
Non mi interessa molto l’aspetto visivo, concentro solo sugli effetti della rispettiva presenza di queste due accelerazioni
Visto che in un intervallo di tempo infinitesimo la variazione di velocità scalare è collegata alla accelerazione tangenziale e la variazione di direzione è collegata all’accelerazione radiale.
Non mi interessa molto l’aspetto visivo, concentro solo sugli effetti della rispettiva presenza di queste due accelerazioni
[ot]Il problema (o il bello, dipende dai punti di vista 
) è che anto si diverte con la Matematica ... 
[/ot]
Cordialmente, Alex
) è che anto si diverte con la Matematica ... [/ot]Cordialmente, Alex
Mi stavo dilettando sul classificare le possibili curve al variare di accelerazione radiale e tangenziale
accelerazione radiale e tangenziale (ossia velocità e curvatura) sono sufficienti a determinare solo le curve piane, nello spazio e in dimensioni superiori non bastano, appunto nello spazio ti serve anche la torsione, e in generiche dimensioni n ti serviranno gli altri $n-3$ parametri
Il che ha del tutto senso
Ho letto qualcosa in merito, sul fatto che si possano definire $n-1$ curvature in uno spazio di dimensione $n$.
Ma hanno tutte a che fare con la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco? Ancora spero di poter definire la curvatura(per intenderci la prima curvatura, quella basata sulla variazione di accelerazione radiale) senza partire dalla parametrizzazione rispetto al parametro d’arco(per poi dimostrare quella per una generica parametrizzazione).
@alex
[ot]tra poco prendo a testate il muro[/ot]
Ho letto qualcosa in merito, sul fatto che si possano definire $n-1$ curvature in uno spazio di dimensione $n$.
Ma hanno tutte a che fare con la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco? Ancora spero di poter definire la curvatura(per intenderci la prima curvatura, quella basata sulla variazione di accelerazione radiale) senza partire dalla parametrizzazione rispetto al parametro d’arco(per poi dimostrare quella per una generica parametrizzazione).
@alex
[ot]tra poco prendo a testate il muro
[/ot]
Ma hanno tutte a che fare con la parametrizzazione rispetto alla lunghezza d’arco?
No, quelle n-1 curvature e quei n-1 vettori sono indipendenti dalla parametrizzazione usata
Perfetto grazie, l’ho letto
Parliamo della prima curvatura:
Prendiamo $T=v/(|v|)$
Se consideriamo che $|vec(v)|*dT(t)=vec(a_R)$ viene proprio che $dT(t)=vec(a_R)/(|vec(v)|)$ e deve venire $k=vec(a_R)/(|vec(v)|^2$
Qual è il motivo perché bisogna dividere per $|v|$ per ottenere la curvatura? Non riesco a capacitarmene
Parliamo della prima curvatura:
Prendiamo $T=v/(|v|)$
Se consideriamo che $|vec(v)|*dT(t)=vec(a_R)$ viene proprio che $dT(t)=vec(a_R)/(|vec(v)|)$ e deve venire $k=vec(a_R)/(|vec(v)|^2$
Qual è il motivo perché bisogna dividere per $|v|$ per ottenere la curvatura? Non riesco a capacitarmene
Una cosa interessante che mi viene in mente è il fatto che le leggi della meccanica classica coinvolgono solo le approssimazioni del secondo ordine di un qualche sistema. Per esempio la prima equazione cardinale $vecF=mveca_G$ ci dice che per sapere la forza agente su un sistema materiale, ci serve sapere l'accelerazione del suo centro di massa, ossia, per quato detto sulle curve, il vettore tangente e la derivata del vettore tangente alla curva che percorre il cdm in quel punto, ossia l'approssimazione del secondo ordine della curva in un dato punto, niente di più.
Mentre la seconda equazione cardinale $vecM=Ivecalpha$ ci dice che per sapere il momento agente sul corpo, ci serve sapere il suo momento di inerzia, ma il momento di inerzia è un momento del secondo ordine, e una funzione può essere espressa in "serie di momenti", quindi conoscere il momento di inerzia di un corpo significa conoscere l'approssimazione al secondo ordine dell'espansione in serie del corpo stesso in momenti. Inoltre il centro di massa stesso è il momento del primo ordine, mentre la massa è il momento di ordine zero, quindi per sapere la dinamica di un corpo non ci serve sapere la "forma esatta" del corpo, né la forma esatta della traiettoria del suo cdm, del corpo, ma solo la sua approssimazione al secondo ordine.
Questo solo nella dinamica dei corpi rigidi, per esempio nella torsione dei corpi elastici sono coinvolti i momenti del terzo ordine
Mentre la seconda equazione cardinale $vecM=Ivecalpha$ ci dice che per sapere il momento agente sul corpo, ci serve sapere il suo momento di inerzia, ma il momento di inerzia è un momento del secondo ordine, e una funzione può essere espressa in "serie di momenti", quindi conoscere il momento di inerzia di un corpo significa conoscere l'approssimazione al secondo ordine dell'espansione in serie del corpo stesso in momenti. Inoltre il centro di massa stesso è il momento del primo ordine, mentre la massa è il momento di ordine zero, quindi per sapere la dinamica di un corpo non ci serve sapere la "forma esatta" del corpo, né la forma esatta della traiettoria del suo cdm, del corpo, ma solo la sua approssimazione al secondo ordine.
Questo solo nella dinamica dei corpi rigidi, per esempio nella torsione dei corpi elastici sono coinvolti i momenti del terzo ordine
La curvatura $k$ è definita come:
$k=((dT)/(dt)*N)/v$
Quindi se l'accelerazione è $veca=dotvT+v(dT)/(dt)$
Allora poriettando su N:
$veca*N=a_n=dotvT*N+v(dT)/(dt)*N=v^2k$
Insomma forse la cosa migliore è partire definendo le varie curvature e vettori con la lunghezza d'arco
$k=((dT)/(dt)*N)/v$
Quindi se l'accelerazione è $veca=dotvT+v(dT)/(dt)$
Allora poriettando su N:
$veca*N=a_n=dotvT*N+v(dT)/(dt)*N=v^2k$
Insomma forse la cosa migliore è partire definendo le varie curvature e vettori con la lunghezza d'arco
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