Completezza di uno spazio normato
Ciao a tutti.
Ho qualche problema nel capire una domostrazione fatta a lezione...è tutta mattina che mi ci scervello sopra e non mi convince...
Potete aiutarmi?
Proposizione:
Si considerino
$C([a,b]) = {f: [a,b] rarr K "t.c. f continue"}$
e
$||f||_oo = "sup"_(x in [a,b]) |f|$ norma su tale spazio (abbiamo verficato in precedenza che è effettivamente una norma).
Allora $(C([a,b]), ||. ||_oo)$ è di Banach.
Dimostrazione
Dunque, quello che ho capito: io devo mostrare che quello spazio normato è completo, e cioè che in esso ogni successione di Cauchy è convergente rispetto alla norma data.
Vi scrivo come abbiamo svolto la dimostrazione e dove sta il mio problema.
Sia ${f_n}$ di Cauchy rispetto a $||. ||_oo$, e cioè ${f_n}$ soddisfa la condizione di cauchy uniforme. (e fin qui ci siamo: questo dipende da come è stata definita la norma, cioè con il sup).
Allora $EE f: [a,b] rarr K "t.c." fn rarr f " uniformemente su " [a,b]$
E qui non capisco:è la convergenza uniforme a implicare che sia soddisfatta la condizione di Cauchy uniforme, non il contrario! Certo, a meno che lo spazio non sia completo, ma è proprio queello che devo mostrare...
Dove sbaglio?
Comunque:
$f_n "continua" rarr f "continua"$ e quindi $||f - f_n||_oo rarr 0 " in " C([a,b]) " cioè " f_n rarr f$
Mi potete aiutare?
Grazie per la pazienza
Ho qualche problema nel capire una domostrazione fatta a lezione...è tutta mattina che mi ci scervello sopra e non mi convince...
Potete aiutarmi?
Proposizione:
Si considerino
$C([a,b]) = {f: [a,b] rarr K "t.c. f continue"}$
e
$||f||_oo = "sup"_(x in [a,b]) |f|$ norma su tale spazio (abbiamo verficato in precedenza che è effettivamente una norma).
Allora $(C([a,b]), ||. ||_oo)$ è di Banach.
Dimostrazione
Dunque, quello che ho capito: io devo mostrare che quello spazio normato è completo, e cioè che in esso ogni successione di Cauchy è convergente rispetto alla norma data.
Vi scrivo come abbiamo svolto la dimostrazione e dove sta il mio problema.
Sia ${f_n}$ di Cauchy rispetto a $||. ||_oo$, e cioè ${f_n}$ soddisfa la condizione di cauchy uniforme. (e fin qui ci siamo: questo dipende da come è stata definita la norma, cioè con il sup).
Allora $EE f: [a,b] rarr K "t.c." fn rarr f " uniformemente su " [a,b]$
E qui non capisco:è la convergenza uniforme a implicare che sia soddisfatta la condizione di Cauchy uniforme, non il contrario! Certo, a meno che lo spazio non sia completo, ma è proprio queello che devo mostrare...
Dove sbaglio?
Comunque:
$f_n "continua" rarr f "continua"$ e quindi $||f - f_n||_oo rarr 0 " in " C([a,b]) " cioè " f_n rarr f$
Mi potete aiutare?
Grazie per la pazienza
Risposte
In sostanza il prof ha detto: se una successione è di Cauchy in $(C([a, b]), ||*||_{\infty})$ allora verifica la condizione di Cauchy uniforme. Infatti vale anche il "solo se", sono proprio la stessa cosa.
In effetti condivido il "blocco" di lewis. Se le cose sono quelle scritte, allora il passaggio incriminato è proprio ciò che si deve dimostrare.
Quello che si fa di solito in questa dimostrazione è:
1) $f_n$ è di Cauchy uniformemente (come già detto)
2) allora per ogni $x$ fissato $f_n(x)$ è di Cauchy in $RR$,
3) dato che $RR$ è completo $f_n(x)$ ha limite - chiamo $f(x)$ questo limite.
fino a qui tutto è abbastanza semplice - a questo punto dimostro che:
4) $f_n$ converge uniformemente a $f$
Il punto 4) è meno evidente - lascio a lewis di verificare se ora riesce a decifrare meglio i suoi appunti e a ritrovarci la dim. di (4). Eventualmente ci torniamo su.
Quello che si fa di solito in questa dimostrazione è:
1) $f_n$ è di Cauchy uniformemente (come già detto)
2) allora per ogni $x$ fissato $f_n(x)$ è di Cauchy in $RR$,
3) dato che $RR$ è completo $f_n(x)$ ha limite - chiamo $f(x)$ questo limite.
fino a qui tutto è abbastanza semplice - a questo punto dimostro che:
4) $f_n$ converge uniformemente a $f$
Il punto 4) è meno evidente - lascio a lewis di verificare se ora riesce a decifrare meglio i suoi appunti e a ritrovarci la dim. di (4). Eventualmente ci torniamo su.
"dissonance":
In sostanza il prof ha detto: se una successione è di Cauchy in $(C([a, b]), ||*||_{\infty})$ allora verifica la condizione di Cauchy uniforme. Infatti vale anche il "solo se", sono proprio la stessa cosa.
Mmmh...temo di non capire il punto.
Cioè, il fatto che la condizione di Cauchy in quello spazio normato equivalga proprio alla condizione di Cauchy uniforme è ok (proprio per come è definita la norma).
Ma non capisco perchè questo implichi la convergenza...
Cioè, Cauchy + completezza $iff$ convergenza
Il problema è che io non so se tale spazio è completo o no! E' proprio quello che devo mostrare...
@ViciousGoblin :
Praticamente dato che $f_n(x)$ è definita su K ($RR$ o $CC$ completi) ed è di Cauchy, allora $f_n (x)$ converge al limite $f(x)$, e questo è quello che hai scritto tu, giusto?
Ora devo mostrare che questa convergenza è uniforme per le funzioni continue definite da $[a,b]$ in K.
Domanda: ma l'intervallo di definizione della mia f(x) qual è? E' sempre [a,b]?
Scusa, magari sono domande stupide o banali, ma voglio essere sicura di avere capito giusto...
Comunque, io ho che
$f_n (x) rarr f(x)$ per $ x in [a,b]$ cioè, per definizione di limite rispetto alla norma dello spazio $"sup"_(x in [a,b]) |f_n(x) - f(x)| rarr 0$ (oppure equivalentemente $<\epsilon$ con $\epsilon$ piccolo a piacere)
Ma questa è proprio la convergenza uniforme.
Hai ragione, non avevo capito bene il punto che ti dava problemi. Questo perché ho dato per scontato che ti fosse stato spiegato precedentemente che se una successione verifica la condizione di Cauchy uniforme allora esiste una funzione a cui essa tende uniformemente - che poi è proprio il grosso della dimostrazione di completezza che intendi fare. Magari enunciamolo come lemma.
Lemma. Sia $X$ un insieme e $(f_n)_{n \in NN}$ una successione di funzioni di $X$ in $RR$ tali che
$forall epsilon>0 exists nu \in NN$ tale che $forall n, m \ge nu$ risulta $"sup"_{x \in X}|f_n (x)-f_m(x)|< epsilon$.
Allora esiste un'unica funzione $f: X \to RR$ tale che $"sup"_{x \in X}|f_n(x)-f(x)| \to 0$.
dim. Dò solo l'idea, esattamente ciò che non ha fatto ViciousGoblin - spero di non confonderti con questo. Se ti sembra che io ti stia mandando fuori strada segui il suo suggerimento di cercare sui tuoi appunti. Per ogni $x$ fissato la successione numerica $f_n(x)$ è di Cauchy e dunque ammette (un unico) limite $f(x)$. Questo definisce la funzione $f: X \to RR$ candidata ad essere il limite uniforme cercato. La tesi si ottiene fissando $epsilon$ e facendo tendere $m$ ad infinito nella disuguaglianza
$|f_n (x)-f_m(x)|< epsilon$
valida per tutte le $x$ in $X$ e per ogni $n, m$ sufficientemente grandi.
Prova un po', se non è ancora chiaro ne riparliamo.
Lemma. Sia $X$ un insieme e $(f_n)_{n \in NN}$ una successione di funzioni di $X$ in $RR$ tali che
$forall epsilon>0 exists nu \in NN$ tale che $forall n, m \ge nu$ risulta $"sup"_{x \in X}|f_n (x)-f_m(x)|< epsilon$.
Allora esiste un'unica funzione $f: X \to RR$ tale che $"sup"_{x \in X}|f_n(x)-f(x)| \to 0$.
dim. Dò solo l'idea, esattamente ciò che non ha fatto ViciousGoblin - spero di non confonderti con questo. Se ti sembra che io ti stia mandando fuori strada segui il suo suggerimento di cercare sui tuoi appunti. Per ogni $x$ fissato la successione numerica $f_n(x)$ è di Cauchy e dunque ammette (un unico) limite $f(x)$. Questo definisce la funzione $f: X \to RR$ candidata ad essere il limite uniforme cercato. La tesi si ottiene fissando $epsilon$ e facendo tendere $m$ ad infinito nella disuguaglianza
$|f_n (x)-f_m(x)|< epsilon$
valida per tutte le $x$ in $X$ e per ogni $n, m$ sufficientemente grandi.
Prova un po', se non è ancora chiaro ne riparliamo.
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