Completezza di R

[saffo1]

Ciao a tutti, sto studiando la completezza di R in analisi 1 e sto cercando di capire se con metriche diverse dalla metrica euclidea è ancora completo.
A lezione, il professore ha detto che se come metrica si prende $ d(x,y)=|f(x)-f(y)| $ con $ f $ iniettiva, allora R non è completo.

Non riesco a capire perché né a trovare un esempio. Ho provato prendendo $ f(x)=e^x $ e come successione $ 1/n $.

Per la condizione di Cauchy ho provato così
per ogni $ epsilon >0 $ sia $ k > epsilon/2$ un indice tale che, per ogni $ n,m>=k $
$ |e^(1/n)-e^(1/m)|<|1/n-1/m|<1/n+1/m<2/n $.

Ma poi non so come controllare se in R con questa metrica converge. Fino a qui può andare o è completamente sbagliato? Ho il sospetto che come successione non vada bene, ma non ho idea di come trovarne una che funzioni.
Grazie a chi mi aiuterà!!!

[Luca.Lussardi]

Devi aver confuso le cose, non e' vero che se $f$ e' iniettiva allora $(\mathbb R,d)$ non viene completo: se prendi $f(x)=x$ ti viene la metrica euclidea che e' completa...

[dissonance]

Probabilmente il professore ha detto (o voleva dire) che se \(f\) è iniettiva allora \(d\) *è una distanza*. Infatti se \(f\) non è iniettiva potrebbe succedere che \(d(x, y)=0\) con \(x\ne y\) (prova con \(f(z)=z^2, x=-y\)).

Quanto all'esempio, sei andato a prendere giusto una successione che si comporta allo stesso modo con \(d\) e con la distanza usuale. Prendine altre, vedi che succede. Che succede con \(x_n=n\)? Con \(x_n=-n\)? Prova, senza paura.