Completezza di $C([a,b])$
Ho un dubbio riguardo la dimostrazione della completezza dello spazio $C([a,b])$ dotato della norma lagrangiana (per capirci, $||x||_(C([a,b])) = max_(tin[a,b]) |x(t)|$). In generale, in $C([a,b])$ considereremo funzioni a valori complessi.
In sostanza, vogliamo provare che se $(x_n)$ è una successione di Cauchy rispetto alla norma lagrangiana, allora $(x_n)$ converge in $C([a,b])$.
Per ogni $t_0 in [a,b]$ fissato, risulta $|x_n(t_0) - x_m(t_0)| <= ||x_n - x_m||_(C([a,b])) < epsilon$, per cui la successione $(x_n(t_0))$ è una successione numerica in $CC$ ed, essendo $CC$ completo, $(x_n(t_0))$ converge. Chiamiamo $x(t_0)$ il limite di tale successione, dunque $(x_n(t_0))_n to x(t_0)$.
Possiamo così costruire la funzione $x(t):[a,b] to CC$.
A questo punto, per completare la dimostrazione, vogliamo mostrare che $x in C([a,b])$ e inoltre $(x_n) to x$ rispetto alla norma lagrangiana.
Essendo per ipotesi $(x_n)$ di Cauchy, risulta che
$AA epsilon > 0, EE nu_epsilon : |x_n(t) - x_m(t)| < epsilon, AA n,m>nu_epsilon, AA t in [a,b]$
e passando ora al limite per $m to oo$ e per $t$ fissato, risulta che $(x_n)$ converge a $x$ uniformemente.
L'ultimo passaggio della dimostrazione consiste nel mostrare che $x$ è continua su $[a,b]$. Il professore lo ha dimostrato tramite il teorema sulla continuità del limite. Non capisco però come si possa applicare questo teorema. Si dovrebbe prima mostrare che per ogni $n$ la funzione $x_n(t)$ è continua su $[a,b]$. Forse questo si deduce dai passaggi precedenti, ma al momento fatico a rendermene conto.
In sostanza, vogliamo provare che se $(x_n)$ è una successione di Cauchy rispetto alla norma lagrangiana, allora $(x_n)$ converge in $C([a,b])$.
Per ogni $t_0 in [a,b]$ fissato, risulta $|x_n(t_0) - x_m(t_0)| <= ||x_n - x_m||_(C([a,b])) < epsilon$, per cui la successione $(x_n(t_0))$ è una successione numerica in $CC$ ed, essendo $CC$ completo, $(x_n(t_0))$ converge. Chiamiamo $x(t_0)$ il limite di tale successione, dunque $(x_n(t_0))_n to x(t_0)$.
Possiamo così costruire la funzione $x(t):[a,b] to CC$.
A questo punto, per completare la dimostrazione, vogliamo mostrare che $x in C([a,b])$ e inoltre $(x_n) to x$ rispetto alla norma lagrangiana.
Essendo per ipotesi $(x_n)$ di Cauchy, risulta che
$AA epsilon > 0, EE nu_epsilon : |x_n(t) - x_m(t)| < epsilon, AA n,m>nu_epsilon, AA t in [a,b]$
e passando ora al limite per $m to oo$ e per $t$ fissato, risulta che $(x_n)$ converge a $x$ uniformemente.
L'ultimo passaggio della dimostrazione consiste nel mostrare che $x$ è continua su $[a,b]$. Il professore lo ha dimostrato tramite il teorema sulla continuità del limite. Non capisco però come si possa applicare questo teorema. Si dovrebbe prima mostrare che per ogni $n$ la funzione $x_n(t)$ è continua su $[a,b]$. Forse questo si deduce dai passaggi precedenti, ma al momento fatico a rendermene conto.
Risposte
Lo dici quando affermi che $x_n \in C[a,b]$, la successione che prendi deve essere in $C[a,b]$ (almeno questo è quello che ho intuito 
)
)
"Kroldar":
Si dovrebbe prima mostrare che per ogni $n$ la funzione $x_n(t)$ è continua su $[a,b]$.
Questo ce l'hai per ipotesi. Infatti le $x_n\inC([a, b])$.
Ok. Deduco di essere davvero fuori. Evidentemente l'analisi funzionale mi ha dato al cervello 
Grazie per il chiarimento.
Grazie per il chiarimento.
A questo punto ti chiedo dove hai usato il fatto che le funzioni sono tutte definite in $[a,b]$.
E se puoi ripetere il tutto con la norma del $"sup"$.
E se puoi ripetere il tutto con la norma del $"sup"$.
Mi perdonerai, ma non capisco cosa vuoi dire. Immagino tu mi stia suggerendo di poter estendere il risultato a qualche spazio di funzioni leggermente differente, ma ti chiederei di essere più esplicito.
In realtà sono un po' arrugginito su queste cose.. semplicemente menavo il can per l'aia!
Allora, il tuo teorema si generalizza così. (la dimostrazione praticamente la stessa, è lasciata per esercizio)
Sia $X$ un insieme, $B(X)$ l'insieme delle funzioni limitate da $X$ in uno spazio di Banach. (difatto quello che tu usi nella tua dimostrazione è che $RR$ è normato, e completo)
Allora $B(X)$, munito della norma del $"sup"$ è uno spazio di Banach.
A questo punto il tuo teorema è un corollario. Considero l'insieme $C(X) cap B(X)$ (ossia continue e limitate su X).
Se provi che $C(X) cap B(X)$ è un chiuso in $B(X)$, allora è un Banach (ti ricordo che chiuso in un completo è completo). (qui interviene il fatto che limite uniforme di continue è continuo - e non c'entra il fatto che sono limitate) (per poter parlare di continuità devi almeno assumere $X$ spazio topologico)
Consideriamo ora l'insieme $C([a,b])$. Si ha che $C([a,b])=C([a,b]) cap B([a,b])$, quindi possiamo usare tutte le cose fatte per far vedere che è un Banach.
Direi che può andare bene.
Allora, il tuo teorema si generalizza così. (la dimostrazione praticamente la stessa, è lasciata per esercizio)
Sia $X$ un insieme, $B(X)$ l'insieme delle funzioni limitate da $X$ in uno spazio di Banach. (difatto quello che tu usi nella tua dimostrazione è che $RR$ è normato, e completo)
Allora $B(X)$, munito della norma del $"sup"$ è uno spazio di Banach.
A questo punto il tuo teorema è un corollario. Considero l'insieme $C(X) cap B(X)$ (ossia continue e limitate su X).
Se provi che $C(X) cap B(X)$ è un chiuso in $B(X)$, allora è un Banach (ti ricordo che chiuso in un completo è completo). (qui interviene il fatto che limite uniforme di continue è continuo - e non c'entra il fatto che sono limitate) (per poter parlare di continuità devi almeno assumere $X$ spazio topologico)
Consideriamo ora l'insieme $C([a,b])$. Si ha che $C([a,b])=C([a,b]) cap B([a,b])$, quindi possiamo usare tutte le cose fatte per far vedere che è un Banach.
Direi che può andare bene.
Perlomeno questa è la trattazione che m'è stata fatta.
E il teorema vale per $C(X)$ con la norma del $"sup"$. Se valesse allora non capisco perchè m'è stata fatta tutta sta dimostrazione. Per essere contenti dovrei trovare un controesempio del fatto che $C(X)$ (X topologico) con la norma del $"sup"$ è un Banach. Ci penso.
Edit: bah, direi che funziona la stessa dimostrazione anche per $C(X)$. No?
Edit$^2$: ahah! facile, la norma del $"sup"$..non è norma su $C(X)$!
E il teorema vale per $C(X)$ con la norma del $"sup"$. Se valesse allora non capisco perchè m'è stata fatta tutta sta dimostrazione. Per essere contenti dovrei trovare un controesempio del fatto che $C(X)$ (X topologico) con la norma del $"sup"$ è un Banach. Ci penso.
Edit: bah, direi che funziona la stessa dimostrazione anche per $C(X)$. No?
Edit$^2$: ahah! facile, la norma del $"sup"$..non è norma su $C(X)$!
Purtroppo non ho molto tempo per approfondire certe questioni... il programma di analisi funzionale è vasto e sono anche fuori allenamento. Però mi fido sulla parola di quello che dici 
Ma è facile, molto facile. Difatto devi solo riscrivere quello che hai già detto tu.
Ne guadagna la chiarezza. Semplicemente riguardo quello ceh dici tu da un nuovo punto di vista.
Ne guadagna la chiarezza. Semplicemente riguardo quello ceh dici tu da un nuovo punto di vista.
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