Complesso coniugato
Ciao, mi è venuto un dubbio stupidissimo.
Se io ho questa funzione: $f(x) = a*e^{-i\alpha x} + b*e^{-i \beta x} $ (dove a e b sono due numeri complessi qualsiasi)
la funzione complessa coniugata dovrebbe essere $\bar f (x) = \bar a e^{i\alpha x} + \bar be^{i \beta x} $
Se adesso calcolo $f(x) \bar f (x)$, svolgendo tutti i calcoli ottengo:
avevo scritto un risultato sbagliato
Ho sbagliato? Non sono molto sicuro del risultato...
Grazie in anticipo
Se io ho questa funzione: $f(x) = a*e^{-i\alpha x} + b*e^{-i \beta x} $ (dove a e b sono due numeri complessi qualsiasi)
la funzione complessa coniugata dovrebbe essere $\bar f (x) = \bar a e^{i\alpha x} + \bar be^{i \beta x} $
Se adesso calcolo $f(x) \bar f (x)$, svolgendo tutti i calcoli ottengo:
avevo scritto un risultato sbagliato
Ho sbagliato? Non sono molto sicuro del risultato...
Grazie in anticipo
Risposte
Ok, ho sbagliato nel post precedente. Il risultato corretto è:
$f(x) \bar f(x) = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b e^{-i alpha x}e^{i beta x} + \bar a b e^{i alpha x}e^{-i beta x}$
Notando che $\bar a b e^{i alpha x}e^{-i beta x}$ è il complesso coniugato di $a \bar b e^{-i alpha x}e^{i beta x}$, e ricordando la proprietà $z + \bar z = 2Re[z]$ ottengo facilmente
$f(x) \bar f(x) = |a|^2 + |b|^2 + 2Re[a \bar b e^{-i alpha x}e^{i beta x} ]$
Se qualcuno ha voglia (perché ne deve avere molta
) mi può spiegare come arrivare a questo passaggio espandendo $e^{ix}$ come $cos(x) + isin(s)$? Ci sto provando da ieri sera, ma proprio non mi vuole venire fuori 
$f(x) \bar f(x) = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b e^{-i alpha x}e^{i beta x} + \bar a b e^{i alpha x}e^{-i beta x}$
Notando che $\bar a b e^{i alpha x}e^{-i beta x}$ è il complesso coniugato di $a \bar b e^{-i alpha x}e^{i beta x}$, e ricordando la proprietà $z + \bar z = 2Re[z]$ ottengo facilmente
$f(x) \bar f(x) = |a|^2 + |b|^2 + 2Re[a \bar b e^{-i alpha x}e^{i beta x} ]$
Se qualcuno ha voglia (perché ne deve avere molta
) mi può spiegare come arrivare a questo passaggio espandendo $e^{ix}$ come $cos(x) + isin(s)$? Ci sto provando da ieri sera, ma proprio non mi vuole venire fuori
Ciao dRic,
$ f(x) \cdot \bar f (x) = (a e^{-i\alpha x} + b e^{-i \beta x})\cdot (\bar a e^{i\alpha x} + \bar be^{i \beta x}) = |a|^2 + a \bar b e^{- i(\alpha - \beta)x} + \bar a b e^{i(\alpha - \beta)x} + |b|^2 = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + 2Re[\bar a b e^{i(\alpha - \beta)x}] $
D'altronde:
$ f(x) \cdot \bar f (x) = [a (cos(\alpha x) - i sin(\alpha x)) + b (cos(\beta x) - i sin(\beta x))]\cdot $
$ \cdot [\bar a (cos(\alpha x) + i sin(\alpha x)) + \bar b (cos(\beta x) + i sin(\beta x))] = $
$ = |a|^2 (cos^2 (\alpha x) + sin^2(\alpha x)) + a \bar b (cos(\alpha x) - i sin(\alpha x))(cos(\beta x) + i sin(\beta x)) + $
$ + \bar a b (cos(\alpha x) + i sin(\alpha x))(cos(\beta x) - i sin(\beta x)) + |b|^2 (cos^2 (\beta x) + sin^2(\beta x)) = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b [cos(\alpha x)cos(\beta x) + i cos(\alpha x)sin(\beta x) - i sin(\alpha x)cos(\beta x) + sin(\alpha x)sin(\beta x)] + $
$ + \bar a b [cos(\alpha x)cos(\beta x) - i cos(\alpha x)sin(\beta x) + i sin(\alpha x)cos(\beta x) + sin(\alpha x)sin(\beta x)] = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b [cos((\alpha - \beta)x) - i sin((\alpha - \beta)x)] + \bar a b [cos((\alpha - \beta)x) + i sin((\alpha - \beta)x)] = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b e^{- i(\alpha - \beta)x} + \bar a b e^{i(\alpha - \beta)x} = |a|^2 + |b|^2 + 2Re[\bar a b e^{i(\alpha - \beta)x}] $
$ f(x) \cdot \bar f (x) = (a e^{-i\alpha x} + b e^{-i \beta x})\cdot (\bar a e^{i\alpha x} + \bar be^{i \beta x}) = |a|^2 + a \bar b e^{- i(\alpha - \beta)x} + \bar a b e^{i(\alpha - \beta)x} + |b|^2 = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + 2Re[\bar a b e^{i(\alpha - \beta)x}] $
D'altronde:
$ f(x) \cdot \bar f (x) = [a (cos(\alpha x) - i sin(\alpha x)) + b (cos(\beta x) - i sin(\beta x))]\cdot $
$ \cdot [\bar a (cos(\alpha x) + i sin(\alpha x)) + \bar b (cos(\beta x) + i sin(\beta x))] = $
$ = |a|^2 (cos^2 (\alpha x) + sin^2(\alpha x)) + a \bar b (cos(\alpha x) - i sin(\alpha x))(cos(\beta x) + i sin(\beta x)) + $
$ + \bar a b (cos(\alpha x) + i sin(\alpha x))(cos(\beta x) - i sin(\beta x)) + |b|^2 (cos^2 (\beta x) + sin^2(\beta x)) = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b [cos(\alpha x)cos(\beta x) + i cos(\alpha x)sin(\beta x) - i sin(\alpha x)cos(\beta x) + sin(\alpha x)sin(\beta x)] + $
$ + \bar a b [cos(\alpha x)cos(\beta x) - i cos(\alpha x)sin(\beta x) + i sin(\alpha x)cos(\beta x) + sin(\alpha x)sin(\beta x)] = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b [cos((\alpha - \beta)x) - i sin((\alpha - \beta)x)] + \bar a b [cos((\alpha - \beta)x) + i sin((\alpha - \beta)x)] = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b e^{- i(\alpha - \beta)x} + \bar a b e^{i(\alpha - \beta)x} = |a|^2 + |b|^2 + 2Re[\bar a b e^{i(\alpha - \beta)x}] $
Ciao, innanzitutto scusa per il gran numero di formule che ti ho fatto scrivere. Fino al penultimo passaggio c'ero anche io. Io però volevo dimostrare il risultato senza ricorrere all'utilizzo della funzione esponenziale, quindi una volta qua:
come potrei procedere ?
"pilloeffe":
$ f(x) \cdot \bar f (x) = [a (cos(\alpha x) - i sin(\alpha x)) + b (cos(\beta x) - i sin(\beta x))]\cdot $
$ \cdot [\bar a (cos(\alpha x) + i sin(\alpha x)) + \bar b (cos(\beta x) + i sin(\beta x))] = $
$ = |a|^2 (cos^2 (\alpha x) + sin^2(\alpha x)) + a \bar b (cos(\alpha x) - i sin(\alpha x))(cos(\beta x) + i sin(\beta x)) + $
$ + \bar a b (cos(\alpha x) + i sin(\alpha x))(cos(\beta x) - i sin(\beta x)) + |b|^2 (cos^2 (\beta x) + sin^2(\beta x)) = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b [cos(\alpha x)cos(\beta x) + i cos(\alpha x)sin(\beta x) - i sin(\alpha x)cos(\beta x) + sin(\alpha x)sin(\beta x)] + $
$ + \bar a b [cos(\alpha x)cos(\beta x) - i cos(\alpha x)sin(\beta x) + i sin(\alpha x)cos(\beta x) + sin(\alpha x)sin(\beta x)] = $
$ = |a|^2 + |b|^2 + a \bar b [cos((\alpha - \beta)x) - i sin((\alpha - \beta)x)] + \bar a b [cos((\alpha - \beta)x) + i sin((\alpha - \beta)x)] = $
come potrei procedere ?
Ok sono un cretino mi dispiace se ti ho fatto perdere tempo, ho risolto il problema. Grazie ancora della disponibilità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo