Complessi

[rico]

Ciao!il mio problema e questo:Calcolare
$(sqrt3+i)/((i-1)^5)$
grazie a chiunque...

[_nicola de rosa]

"richard84":Ciao!il mio problema e questo:Calcolare
$(sqrt3+i)/((i-1)^5)$
grazie a chiunque...

semplice:
considera $z=i-1$ allora $|z|=sqrt2,arg(z)=arg(i-1)=arg(-(1-i))=arg(-1)+arg(1-i)=pi-pi/4=3/4*pi$, per cui
$z=sqrt2*e^(i*3/4*pi)->z^5=(sqrt2)^5*e^(i*15/4*pi)=4sqrt2*e^(i*(4pi-pi/4))=4sqrt2*e^(-i*pi/4)$
invece consideriamo $z=sqrt3+i->|z|=2,arg(z)=arctg(1/(sqrt3))=pi/6->z=2*e^(i*pi/6)$
In conclusione
$(sqrt3+i)/((i-1)^5)=(2*e^(i*pi/6))/(4sqrt2*e^(-i*pi/4))=1/(2sqrt2)*e^(i*(pi/6+pi/4))=1/(2sqrt2)*e^(i*(5/12*pi+2kpi)), k in ZZ$

[rico]

nn ho capito questo "$|z|=sqrt2,arg(z)=arg(i-1)=arg(-(1-i))=arg(-1)+arg(1-i)=pi-pi/4=3/4*pi$"

[_nicola de rosa]

"richard84":nn ho capito questo "$|z|=sqrt2,arg(z)=arg(i-1)=arg(-(1-i))=arg(-1)+arg(1-i)=pi-pi/4=3/4*pi$"

cosa non hai capito?

[rico]

"nicasamarciano":[quote="richard84"]nn ho capito questo "$|z|=sqrt2,arg(z)=arg(i-1)=arg(-(1-i))=arg(-1)+arg(1-i)=pi-pi/4=3/4*pi$"

cosa non hai capito?[/quote]
arg sta per argomento giusto? e nn si trova con $-arctg((|b|)/a)$?

[_nicola de rosa]

"richard84":[quote="nicasamarciano"][quote="richard84"]nn ho capito questo "$|z|=sqrt2,arg(z)=arg(i-1)=arg(-(1-i))=arg(-1)+arg(1-i)=pi-pi/4=3/4*pi$"

cosa non hai capito?[/quote]
arg sta per argomento giusto? e nn si trova con $-arctg((|b|)/a)$?[/quote]
è vero, $arg()$ sta per fase del numero complesso. per il suo calcolo vanno tenuti distinti 4 casi
$z=a+i*b$
1)$a>0,b>0->arg(z)=arctg(b/a)$
2)$a>0,b<0->arg(z)=2pi-arctg(|b|/a)=-arctg(|b|/a)$
3)$a<0,b>0->arg(z)=pi-arctg(b/|a|)$
3)$a<0,b<0->arg(z)=pi+arctg(|b/a|)$

nel caso di $z=i-1$ siamo nel caso 3) per cui $arg(z)=pi-arctg(1)=pi-pi/4=3/4*pi$
nel caso di $z=sqrt3+i$ siamo in 1) per cui $arg(z)=arctg(1/(sqrt3))=pi/6$

[rico]

vero!!pensa che ho ancora il foglio di quando me lo dissi due mesi fa o piu circa...!!l ho tenuto e utile!

[_nicola de rosa]

"richard84":vero!!pensa che ho ancora il foglio di quando me lo dissi due mesi fa o piu circa...!!l ho tenuto e utile!

meno male

[ronnie2]

scusate l'intrusione calcolare $Z^11$ in forma algebrica e poi
trovare $4sqrt(Z)$ ho dei problemi

[_nicola de rosa]

"ronnie":scusate l'intrusione calcolare $Z^11$ in forma algebrica e poi
trovare $4sqrt(Z)$ ho dei problemi

$Z^11=|Z|^11*e^(i*11*(arg(Z)+2kpi))=|Z|^11*(cos(11(arg(Z)+2kpi))+i*sin(11(arg(Z)+2kpi))), k in ZZ$ ed ovviamente al variare di $k in ZZ$ ottieni sempre lo stesso numero complesso $Z^11$
$4Z^(1/2)=4*|Z|^(1/2)*e^(i*1/2*(arg(Z)+2kpi))=4*|Z|^(1/2)*(cos((arg(Z)+2kpi)/2)+i*sin((arg(Z)+2kpi)/2)), k=0,1 $ e per $k>1$ riottieni alternativamente gli stessi due numeri complessi calcolati per $k=0,1$

[ronnie2]

"nicasamarciano":[quote="ronnie"]scusate l'intrusione calcolare $Z^11$ in forma algebrica e poi
trovare $4sqrt(Z)$ ho dei problemi

$Z^11=|Z|^11*e^(i*11*(arg(Z)+2kpi))=|Z|^11*(cos(11(arg(Z)+2kpi))+i*sin(11(arg(Z)+2kpi))), k in ZZ$
$4Z^(1/2)=4*|Z|^(1/2)*e^(i*1/2*(arg(Z)+2kpi))=4*|Z|^(1/2)*(cos((arg(Z)+2kpi)/2)+i*sin((arg(Z)+2kpi)/2)), k=0,1 $[/quote]
ah scusami dimenticavo è radice querta di Z

[ronnie2]

l'arg di Z a quanto è uguale

[_nicola de rosa]

"ronnie":l'arg di Z a quanto è uguale

$root(4)(Z)=|Z|^(1/4)*e^(i*1/4*(arg(Z)+2kpi))=|Z|^(1/4)*(cos((arg(Z)+2kpi)/4)+i*sin((arg(Z)+2kpi)/4)), k=0,1,2,3 $ e per $k>3$ riottieni alternativamente gli stessi quattro numeri complessi calcolati per $k=0,1,2,3$

me lo devi dire tu chi è $Z$