Complessi

[Maryse1]

Sia $z in C escluso {1}$ tale che $z^n=1$ dove $n>1$
Dimostrare $|z-1|>=4/n$

Allora io ho iniziato svolgendo l'esercizio così: Mi sono scritta z nella forma trigonometrica ovvero
$ z=costheta+isentheta $
quindi: $ |z-1|=|costheta-1+isentheta|=sqrt(2-2costheta) = sqrt (2)sqrt(1-costheta) $
ora quest'ultimo termine lo posso anche scrivere come $ sqrt2(sentheta) $. Io so adesso che il $sentheta$ è una funzione crescente in $ [0,pi/2] $ ma non riesco a dimostrare la disuguaglianza sopra scritta..

[theras]

Mi limito a dire che, qualunque sia la scelta del tuo $n in NN setminus {0,1}$, il tuo problema è equivalente a quello della verifica della $"sen"^2 (k pi)/n ge 4/(n^2)$ $AA k in {1,2,..,n-1}$:
saluti dal web.

[Maryse1]

Non ho ben capito.. io comunque mi ritrovo alla fine che devo dimostrare: $(sentheta)^2>=2/n^2$

[ciampax]

Quello che intende dire theras è la cosa seguente: il tuo numero complesso $z$ deve anche soddisfare la seguente condizione $z^n=1$, cioè $z$ deve esere una delle radici ennesime dell'unità, e quindi essere della forma seguente
$Sz_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\qquad k=0,\ldots,1$$
Con tale scelta, la tua disequazione risulta più semplice da scrivere, non ti pare?