Compito Esame

[marcog86]

Ciao a tutti
mi è statao sottoposto questo esercizio:

Sia f : R → R una funzione derivabile tre volte e tale che
f (e) = −1, f ′(e) = −2, f ′′(e) = 2, |f ′′′(x)| ≤ 2 ∀x.
1. Scrivere la formula di Taylor di f arrestata al secondo ordine e centrata in e;
2. maggiorare f nell’intervallo [0, 5];
3. scrivere la formula di Taylor arrestata al secondo ordine in x0 = 1 di h(x) = f (x^3*e^x).

Come lo avreste risolto?
Io ho la seguente soluzione:
Punto 1
1. P2(x; e) = −1 − 2(x − e) + (x − e)^2;
Punto 2
2. |f (x) − P2(x; e)| ≤ f ′′′(x)|(x − e)3| ≤ (2*3^3)/3! 33 ≤ 9;
3.
h′(x) = f ′(x^3*e^x)(x^3*e^x + 3x^2*e^x),
h′′(x) = f ′(x^3*e^x)(x^3*e^x + 3x^2*e^x)^2 + f ′(x^3*e^x)(6x*e^x + 6x^2*e^x+x^3*e^x).

Quindi
h′(1) = −8e,
h′′(1) = 32e2 − 26e
Il polinomio cercato é:
−1 − 8e(x − 1) + (16e^2 − 13e)(x − 1)^2

Ammetto di avere dei limiti, ma qualcuno mi può spiegare perché nelle derivate di h(x) la f ′(x^3*e^x)=-2???
Come le altre derivate?
Cioè, non riesco a capire il perchè prendo la f'(e) o la f"(e) nel calcolo?

[@melia]

Quando $x=1$ hai che $x^3*e^x=1^3*e^1=e$ quindi $f ′(x^3*e^x)=f ′(1^3*e^1)=f '(e)= -2$

[marcog86]

Grazie
Era abbastanza banale!!
Ad ogni modo il ragionamento che non colgo è nella formula per trovare h’(x), derivo la funzione

Mi vedo male al prossimo esame…

[marcog86]

Grazie
Ho capito cosa è stato fatto, però non riesco a cogliere il perché prendo la f’(e) nella derivata di h’(x)…

[@melia]

$h(x)$ è una funzione composta, in pratica $h(x)=f(g(x))$ dove $g(x)=x^3*e^x$
$h'(x)=f'(g(x))*g'(x)$ perciò $h′(x) = f ′(x^3*e^x)(x^3*e^x + 3x^2*e^x)$, a questo punto calcoli $h'(1)$
$h'(1)=f ′(1^3*e^1)(1^3*e^1 + 3*1^2*e^1)=f'(e)*4e= -2*4e= -8e$.