Compito di analisi I
Finalmente oggi ho fatto questo benedetto esame...o meglio ho fatto lo scritto. Spero sia andato bene e nell'attesa dei risultati posto alcuni esercizi con le risposte che ho dato e vi chiedo pareri 
1) Sia [tex]a_{n}[/tex] una successione limitata di numeri reali tale che la sottosuccessione [tex]a_{2n+1}[/tex] dei termini di posto dispari è decrescente e la successione [tex]a_{2n}[/tex] dei termini posto pari è crescente. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono certamente vere:
- Le sottosuccessioni [tex]a_{2n+1} \quad a_{2n}[/tex] sono entrambe convergenti:
Per il teorema di Bolzano Weistrass da una successione limitate si possono estrarre sottosuccessioni convergenti. Quindi questa prima affermazione è vera.
- Le sottosuccessioni, se convergono, hanno lo stesso limite l:
Le sottosuccessioni estratte da [tex]a_{n}[/tex] sono limitate. Poichè sono la prima decrescente e la seconda crescente, convergono rispettivamente all'estremo inferiore e all'estremo superiore. Quindi questa ultima affermazione è falsa.
- Se le sottossuccessioni convergono allo stesso limite, allora [tex]\lim _{x\rightarrow + \infty} a_{n} = l[/tex]:
Per quanto detto prima, questa affermazione è anche falsa.
2)Sia f una funzione definita e continua in [0,1] e tale che f(0) = 2 e f(1) = -2. Provare che esistono soluzioni in [0,1]di [tex]f(x) = 3x^{2} - 4x^{2} +1[/tex]
Per provare l'esistenza delle soluzioni si procede con il teorema dell'esistenza degli zeri.
3) Determinare le soluzioni complesse dell'equazione [tex]|z|^{n} = z^{n}[/tex]
Per questo esercizio, anche se che molto banale, ho avuto problemi. Ho scritto la banale soluzione [tex](\sqrt{x^{2} + y^{2}})^{n} = (x + iy)^n[/tex] Penso si potesse fare anche usando la notazione esponenziale per i numeri complessi, ma siceramente non ne ho idea...
4) Studiare al variare di [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] la derivabilità della seguente funzione:
[tex]f(x) = x^{2\alpha}\left(1 - \cos (x^{-2\alpha})\right) \quad x \neq 0[/tex]
[tex]f(x) = 0 \quad x = 0[/tex]
In questo caso ho fatto il limite del rapporto incrementale di [tex]x^{2\alpha}\left(1 - \cos (x^{-2\alpha})\right)[/tex] sia per che tende a zero da destra che da sinistra. In entrambi i casi il limite mi è venuto zero per [tex]\alpha > -\dfrac{1}{2}[/tex]. Ne ho concluso che era derivabile per x = 0 quando [tex]\alpha > -\dfrac{1}{2}[/tex]
5)Usando le formule di Taylor, provare che
[tex]\sum _{n=1} ^{+\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} = log2[/tex]
Questo esercizio l'ho saltato a piè pari!
6)Determinare il dominio ed il comportamente asintotico di [tex]F(x) = \int _{x} ^{2x} \dfrac{1-cost}{t^{3}}dt[/tex] Stabilire se è derivabile e/o continua nel suo dominio e calcolare, inoltre, [tex]\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}\int _{x} ^{2x} \dfrac{1-cost}{t^{3}}dt[/tex]
Il dominio è tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e per x che tende a + infinito (e anche a meno infinito) il limite è 0. Ne ho concluso che y=0 è asintoto orizzontale. La funzione è continua e derivabile (ma non ho giustificato il perchè quindi sarà una possibile domanda all'orale) e il limite, infine, usando De l'Hopital, è zero.
7) Determinare il carattere della serie [tex]\sum _{n=1} ^{+\infty} a_{n}[/tex] dove [tex]a_{n} = \int _{0} ^{\pi} e^{-n^{2}x}(sinx)^{2n}dx[/tex]
Ho maggiorato l'integrale, cioè [tex]\int _{0} ^{\pi} e^{-n^{2}x}(sinx)^{2n}dx \leq \int _{0} ^{\pi} \dfrac{1}{e^{n^{2}x}} = -\dfrac{\pi}{n^{2}}[/tex] Quindi la serie di partenza ha lo stesso carattere della serie con termine [tex]-\dfrac{\pi}{n^{2}}[/tex] che, essendo una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di uno, converge.
La serie data in partenza converge anche.
C'era anche un ulteriore esercizio nel quale si richiedeva di calcore un limite ma qua lo ometto perchè era troppo semplice.
Per fare questo compito mi è stato dato tre ore e verrà discusso durante l'orale.
Consigli sugli esercizi, soprattutto il terzo e il sesto su cui ho avuto più dubbi??
Grazie.
1) Sia [tex]a_{n}[/tex] una successione limitata di numeri reali tale che la sottosuccessione [tex]a_{2n+1}[/tex] dei termini di posto dispari è decrescente e la successione [tex]a_{2n}[/tex] dei termini posto pari è crescente. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono certamente vere:
- Le sottosuccessioni [tex]a_{2n+1} \quad a_{2n}[/tex] sono entrambe convergenti:
Per il teorema di Bolzano Weistrass da una successione limitate si possono estrarre sottosuccessioni convergenti. Quindi questa prima affermazione è vera.
- Le sottosuccessioni, se convergono, hanno lo stesso limite l:
Le sottosuccessioni estratte da [tex]a_{n}[/tex] sono limitate. Poichè sono la prima decrescente e la seconda crescente, convergono rispettivamente all'estremo inferiore e all'estremo superiore. Quindi questa ultima affermazione è falsa.
- Se le sottossuccessioni convergono allo stesso limite, allora [tex]\lim _{x\rightarrow + \infty} a_{n} = l[/tex]:
Per quanto detto prima, questa affermazione è anche falsa.
2)Sia f una funzione definita e continua in [0,1] e tale che f(0) = 2 e f(1) = -2. Provare che esistono soluzioni in [0,1]di [tex]f(x) = 3x^{2} - 4x^{2} +1[/tex]
Per provare l'esistenza delle soluzioni si procede con il teorema dell'esistenza degli zeri.
3) Determinare le soluzioni complesse dell'equazione [tex]|z|^{n} = z^{n}[/tex]
Per questo esercizio, anche se che molto banale, ho avuto problemi. Ho scritto la banale soluzione [tex](\sqrt{x^{2} + y^{2}})^{n} = (x + iy)^n[/tex] Penso si potesse fare anche usando la notazione esponenziale per i numeri complessi, ma siceramente non ne ho idea...
4) Studiare al variare di [tex]\alpha \in \mathbb{R}[/tex] la derivabilità della seguente funzione:
[tex]f(x) = x^{2\alpha}\left(1 - \cos (x^{-2\alpha})\right) \quad x \neq 0[/tex]
[tex]f(x) = 0 \quad x = 0[/tex]
In questo caso ho fatto il limite del rapporto incrementale di [tex]x^{2\alpha}\left(1 - \cos (x^{-2\alpha})\right)[/tex] sia per che tende a zero da destra che da sinistra. In entrambi i casi il limite mi è venuto zero per [tex]\alpha > -\dfrac{1}{2}[/tex]. Ne ho concluso che era derivabile per x = 0 quando [tex]\alpha > -\dfrac{1}{2}[/tex]
5)Usando le formule di Taylor, provare che
[tex]\sum _{n=1} ^{+\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} = log2[/tex]
Questo esercizio l'ho saltato a piè pari!
6)Determinare il dominio ed il comportamente asintotico di [tex]F(x) = \int _{x} ^{2x} \dfrac{1-cost}{t^{3}}dt[/tex] Stabilire se è derivabile e/o continua nel suo dominio e calcolare, inoltre, [tex]\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}\int _{x} ^{2x} \dfrac{1-cost}{t^{3}}dt[/tex]
Il dominio è tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e per x che tende a + infinito (e anche a meno infinito) il limite è 0. Ne ho concluso che y=0 è asintoto orizzontale. La funzione è continua e derivabile (ma non ho giustificato il perchè quindi sarà una possibile domanda all'orale) e il limite, infine, usando De l'Hopital, è zero.
7) Determinare il carattere della serie [tex]\sum _{n=1} ^{+\infty} a_{n}[/tex] dove [tex]a_{n} = \int _{0} ^{\pi} e^{-n^{2}x}(sinx)^{2n}dx[/tex]
Ho maggiorato l'integrale, cioè [tex]\int _{0} ^{\pi} e^{-n^{2}x}(sinx)^{2n}dx \leq \int _{0} ^{\pi} \dfrac{1}{e^{n^{2}x}} = -\dfrac{\pi}{n^{2}}[/tex] Quindi la serie di partenza ha lo stesso carattere della serie con termine [tex]-\dfrac{\pi}{n^{2}}[/tex] che, essendo una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di uno, converge.
La serie data in partenza converge anche.
C'era anche un ulteriore esercizio nel quale si richiedeva di calcore un limite ma qua lo ometto perchè era troppo semplice.
Per fare questo compito mi è stato dato tre ore e verrà discusso durante l'orale.
Consigli sugli esercizi, soprattutto il terzo e il sesto su cui ho avuto più dubbi??
Grazie.
Risposte
Il primo esercizio:
Questa non mi sembra giustificata adeguatamente. Chi ti dice che siano proprio quelle le sottosuccessioni convergenti che esistono per il teorema di Bolzano?
Non penso. Considera $a_n = (-1)^n/n$ (sup e inf coincidono).
Riveditela in base all'esempio che ti ho fornito.
"m92c":
- Le sottosuccessioni [tex]a_{2n+1} \quad a_{2n}[/tex] sono entrambe convergenti:
Per il teorema di Bolzano Weistrass da una successione limitate si possono estrarre sottosuccessioni convergenti. Quindi questa prima affermazione è vera.
Questa non mi sembra giustificata adeguatamente. Chi ti dice che siano proprio quelle le sottosuccessioni convergenti che esistono per il teorema di Bolzano?
"m92c":
- Le sottosuccessioni, se convergono, hanno lo stesso limite l:
Le sottosuccessioni estratte da [tex]a_{n}[/tex] sono limitate. Poichè sono la prima decrescente e la seconda crescente, convergono rispettivamente all'estremo inferiore e all'estremo superiore. Quindi questa ultima affermazione è falsa.
Non penso. Considera $a_n = (-1)^n/n$ (sup e inf coincidono).
"m92c":
- Se le sottossuccessioni convergono allo stesso limite, allora [tex]\lim _{x\rightarrow + \infty} a_{n} = l[/tex]:
Per quanto detto prima, questa affermazione è anche falsa.
Riveditela in base all'esempio che ti ho fornito.
L'esercizio 2 è ok. Per quanto riguarda il 3...
dov'è la tua soluzione? Comunque mi sembra che usando la forma esponenziale le cose vengano proprio bene.
$\rho^n = \rho^n e^(i n \theta)$
E' un esercizio abbastanza "esemplificativo". $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^n/n$ è la serie di Taylor di $log(x + 1)$ centrata in $0$. Usando il teorema di Abel si prova la continuità della somma della serie nel punto $1$...
"m92c":
3) Determinare le soluzioni complesse dell'equazione [tex]|z|^{n} = z^{n}[/tex]
Per questo esercizio, anche se che molto banale, ho avuto problemi. Ho scritto la banale soluzione [tex](\sqrt{x^{2} + y^{2}})^{n} = (x + iy)^n[/tex] Penso si potesse fare anche usando la notazione esponenziale per i numeri complessi, ma siceramente non ne ho idea...
dov'è la tua soluzione? Comunque mi sembra che usando la forma esponenziale le cose vengano proprio bene.
$\rho^n = \rho^n e^(i n \theta)$
"m92c":
5)Usando le formule di Taylor, provare che
[tex]\sum _{n=1} ^{+\infty} (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} = log2[/tex]
Questo esercizio l'ho saltato a piè pari!
E' un esercizio abbastanza "esemplificativo". $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) x^n/n$ è la serie di Taylor di $log(x + 1)$ centrata in $0$. Usando il teorema di Abel si prova la continuità della somma della serie nel punto $1$...
Il teorema di Abel non l'ho studiato quindi non so come sfruttarlo.
Per l'esercizio sulle successioni, alla seconda affermazione ho risposto falso perchè il testo mi chiedeva di dimostrare quelle certamente vere. Come dici bene tu la succ [tex]a_{n} = \dfrac{(-1)^{n}}{n}[/tex] ha inf e sup uguali ma esistono anche altre successione che probabilmente hanno inf e sup diverso... almeno io l'ho interpretato così!
Per l'esercizio sulle successioni, alla seconda affermazione ho risposto falso perchè il testo mi chiedeva di dimostrare quelle certamente vere. Come dici bene tu la succ [tex]a_{n} = \dfrac{(-1)^{n}}{n}[/tex] ha inf e sup uguali ma esistono anche altre successione che probabilmente hanno inf e sup diverso... almeno io l'ho interpretato così!
Diciamo che per dimostrare che una affermazione non è vera in generale, dovresti proporre un controesempio.
Infatti è vero che una converge al sup e l'altra all'inf, ma non è assolutamente detto che questi potrebbero essere diversi: magari, per ragioni particolari del problema, sup e inf coincidono sempre (non sarà così, ma per mostrarlo devi dare un esempio contrario).
Infatti è vero che una converge al sup e l'altra all'inf, ma non è assolutamente detto che questi potrebbero essere diversi: magari, per ragioni particolari del problema, sup e inf coincidono sempre (non sarà così, ma per mostrarlo devi dare un esempio contrario).
[xdom="Seneca"]Non serve aprire una nuova discussione: questo messaggio proviene dal nuovo thread che m92c aveva aperto oggi.[/xdom] In un esercizio si chiedeva di stabilire il dominio e il comportamento asintotico di [tex]F(x) = \int _{x} ^{2x} \dfrac{1 - cost}{t^{3}}dt[/tex] e inoltre di stabilire se è continua e/o derivabile.
Il dominio della funzione f(t) è [tex]\mathbb{R}/\{ 0 \}[/tex]. L'integrale per [tex]x \rightarrow 0[/tex] converge. Quindi il dominio di F(x) è tutta la retta dei reali. Inoltre la funzione per y=0 ha asintoto orizzontale.
Il mio dubbio nasce nella determinazione della continuità e della derivabilità di F(x) (ammesso e concesso che quello che ho scritto sopra sia vero). Studiando f(t), x = 0 è punto di discontinuità per tale funzione. Posso dire, quindi, che F(x) è continua in [tex]\mathbb{R}[/tex] e, per il teorema del calcolo integrale, derivabile??
Ps: Avevo letto questo articolo studio-della-funzione-integrale-i-vi-t25340.html ma siceramente mi sono un pò confusa...
Il dominio della funzione f(t) è [tex]\mathbb{R}/\{ 0 \}[/tex]. L'integrale per [tex]x \rightarrow 0[/tex] converge. Quindi il dominio di F(x) è tutta la retta dei reali. Inoltre la funzione per y=0 ha asintoto orizzontale.
Il mio dubbio nasce nella determinazione della continuità e della derivabilità di F(x) (ammesso e concesso che quello che ho scritto sopra sia vero). Studiando f(t), x = 0 è punto di discontinuità per tale funzione. Posso dire, quindi, che F(x) è continua in [tex]\mathbb{R}[/tex] e, per il teorema del calcolo integrale, derivabile??
Ps: Avevo letto questo articolo studio-della-funzione-integrale-i-vi-t25340.html ma siceramente mi sono un pò confusa...
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