Compito analisi, estremi:

[Magister1]

Domani ho un compito di analisi, e tra gli esercizi vi sarà il seguente: Data la seguente funzione, ricercare eventuali estremi relativi ed assoluti. Che devo fare? quali sono i passi da seguire?

[theras]

Gli stessi "passi" cui sei abituato negli studi di funzione:
massimi e minimi,relativi(è sottointeso dire "ad un opportuno intervallo sull'asse delle ascisse"..)e\o assoluti,
si determinano attraverso il grafico grazie all'interpretazione intuitiva di tali concetti,
così come,propedeuticamente ad essi,eventuali estremi inferiori e/o superiori..
Saluti dal web.

[Magister1]

Ad esempio ho una funzione il cui insieme di definizione è (0; + infinito) e faccio i limiti in 0 ed in + infinito, cosa mi dicono tali limiti? e se uno dei due tende a + inf allora la funz non ha massimo assoluto giusto?

[Oiram92]

- Se hai una funzione definita su insieme chiuso e limitato del tipo $ [ a , b ] $ , allora per il teorema di weierstrass esistono massimo e/o minimo assoluti
- Se hai una funzione definita su un insieme aperto allora potrebbe non aver massimo e/o minimo come hai fatto notare tu.

Per massimi e minimi assoluti io ti risponderei "dipende"..
Diciamo che con certezza non possiamo dire nulla..dipende da caso a caso..

Nel caso che dici tu, cioè $ f : (0 , +oo [ -> R $ , facendo i limiti agli estremi vedi come si comporta quella determinata funzione quando si avvicina ai suoi estremi.
Se uno dei due $ -> +oo $ non hai massimo assoluto, potresti avere un minimo assoluto, un minimo relativo ed un massimo relativo..
Come sempre dipende da funzione a funzione..ho cercato di scrivere il più possibile ma è come cercare di acchiappare il fumo perchè esistono svariati fattori da considerare..comportamento al limite, punti di discontinuità e asintoti, ecc..
ogni funzione ha una storia a sè.

[Magister1]

Ad esempio f(x) =$ 2^x/(x-1)$ ... non so come procedere...

[theras]

@Magister.
Giusta deduzione ,ma è solo una delle tante possibili in queste tipologie d'esercizio
(Mario ha ragione da vendere,insomma..):
diciamo che ti sarà utile accettare l'idea che il "colpo d'occhio d'insieme" che ti dà $G_f$ è più comodo di tante considerazioni analitiche
(e non vedo perché complicarsi la Vita,fin quando non si lavora in $RR^n$ con $n in NN\{1}$..
anche perché questi esercizi di Analisi I son propedeutici a quelli dei corsi che verranno,
nei quali s'è costretti a generalizzare grazie a procedimenti più "tecnici" i cui significati e ragioni più profonde pongono basi importanti nell'allargamento "algebrico" del caso,"standard" e "facilmente" visualizzabile,$n=1$..
o se preferisci "Analisi I=Una dimensione,Analisi II=Due o più dimensioni",come diceva quel grande del mio Prof )!
Saluti dal web.
Edit.
La $f(t)=2^t : RR to RR$ è crescente:
ti basta allora studiare la $g(x)=x/(x-1)$,per capire i valori "estremanti" di $f[g(x)]$..

[Oiram92]

"Magister":Ad esempio f(x) =$ 2^x/(x-1)$ ... non so come procedere...

Non sai come procedere allo studio di funzione ? Andiamo per gradi allora :

Dominio :

$ x != 1 $ per cui $ f : ] -oo , 1 [ U ] 1 , +oo [ -> R $

Quindi $ 1 $ è un punto di discontinuità per la funzione

Intersezione con l'asse X :

$ f(0) = (2^0)/(0-1) = - 1 $

Quindi la funzione passa per il punto $ A = (0 , -1) $

Positività :

$ f(x) > 0 hArr { ( 2^x > 0 ),( x -1 >0 ):} hArr { ( AA x in R ),( x > 1 ):} $

Quindi il grafico della funzione si trova "sotto" l'asse da $ ] - oo, 1 [ $ e "sopra" l'asse x da $ ] 1 , +oo [ $

Limiti e Asintoti :

$ lim_(x->1^-) f(x) = -oo $
$ lim_(x->1^+) f(x) = +oo $

Quindi come era prevedibile, $ x = 1 $ è un asintoto verticale. E con lo studio dei limiti sappiamo il comportamento della funzione a sinistra e destra dell'asintoto. Per ora basta tracciare nel grafico un piccolo trattino in basso a sinistra dell'asintoto (perchè lì la funzione $ -> -oo $) , mentre a destra dell'asintoto traccierai un trattino in alto ( perchè lì la funzione $ -> +oo $ )

$ lim_(x->+oo) f(x) = +oo $
$ lim_(x-> -oo) f(x) = 0 $

Quindi $ y = 0 $ è un asintoto orizzontale e non è necessario cercare asintoti obliqui dato che ne abbiamo già uno orizzontale (e quindi non possono esisterne di obliqui).

Conclusioni riguardanti i limiti : Non esiste massimo assoluto, non esiste minimo assoluto (perchè la funzione in certi posti tende a $ + oo $ e in altri a $ - oo $ )

Derivata Prima :

$ f'(x) = (2^x (ln(2) - xln(2) + 1))/(1-x)^2 $

Monotonìa :

$ f'(x) > 0 hArr x < (1+ln(2))/ln(2) ~ 2.44 $

Quindi da $ ] - oo, (1+ln(2))/ln(2) [ $ la funzione è decrescente, mentre in $ ] (1+ln(2))/ln(2) , + oo [ $ la funzione è crescente.

Grafico :
Ti posto l'immagine del grafico creata con GeoGebra. Il grafico è questo :