Compito analisi 1

[DarkIchigo]

Buonasera,

potreste dirmi come si risolvono gli esercizi 2,5 e 6 dell'allegato 1?


Grazie.

[ciampax]

Ti rispondo domattina con calma.

Aggiunto 19 ore 11 minuti più tardi:

Comincio dal 5: devi calcolare l'integrale improprio

[math]I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(|x+2|+1)^2}[/math]

Osserviamo che

[math]|x+2|+1\not= 0[/math]

su tutto l'asse reale: pertanto gli unici punti problematici per l'integrale sono gli estremi. Ora, è immediato verificare che

[math]\frac{1}{(|x+2|+1)^2}\sim\frac{1}{x^2},\qquad x\to\pm\infty[/math]

e pertanto la funzione risulta integrabile. Per calcolare l'integrale, occorre spezzare il valore assoluto: abbiamo

[math]I=\int_{-\infty}^{-2}\frac{dx}{(|x+2|+1)^2}+\int_{-2}^{+\infty}\frac{dx}{(|x+2|+1)^2}=\\ \int_{-\infty}^{-2}\frac{dx}{(-x-2+1)^2}+\int_{-2}^{+\infty}\frac{dx}{(x+2+1)^2}=\int_{-\infty}^{-2}\frac{dx}{(x+1)^2}+\int_{-2}^{+\infty}\frac{dx}{(x+3)^2}=\\ \lim_{a\to+\infty}\left\{\int_{-a}^{-2}\frac{dx}{(x+1)^2}+\int_{-2}^{+a}\frac{dx}{(x+3)^2}\right\}=\\ \lim_{a\to+\infty}\left\{\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{-a}^{-2}+\left[-\frac{1}{x+3}\right]_{-2}^a\right\}=\\ \lim_{a\to+\infty}\left\{1+\frac{1}{1-a}-\frac{1}{a+3}+1\right\}=2[/math]

[DarkIchigo]

Il limite sono riuscito a farlo da solo e ho capito come funziona,dovrebbe uscire 7/2, quindi rimane solo la serie. Grazie per l'integrale.