Compatto implica totalmente limitato?
mi è stata posta questa domanda dal mio professore di geometria:
è ovvio o no che la compattezza implica la totale limitatezza?
vorrei sapere anche la vostra oppinione...grazie
è ovvio o no che la compattezza implica la totale limitatezza?
vorrei sapere anche la vostra oppinione...grazie
Risposte
Uno spazio si dice totalmente limitato se, comunque si fissi un raggio $delta$, esiste un ricoprimento finito di dischi di raggio $delta$. Giusto? Allora mettiamoci in uno spazio metrico compatto $X$, e fissiamo $delta>0$. Possiamo ottenere un ricoprimento aperto chiamando, per ogni punto $p$, $U(p)$ il disco aperto di centro $p$ e raggio $delta$. Infatti $X=\bigcup_{p\inX} U(p)$. Adesso dovrebbe essere tutto chiaro.
E' ovvio sì, il viceversa è un po' meno ovvio e non è vero se non hai la completezza, ma è molto importante, è la radice del Teorema di Ascoli Arzelà.
"dissonance":
Uno spazio si dice totalmente limitato se, comunque si fissi un raggio $delta$, esiste un ricoprimento finito di dischi di raggio $delta$. Giusto? Allora mettiamoci in uno spazio metrico compatto $X$, e fissiamo $delta>0$. Possiamo ottenere un ricoprimento aperto chiamando, per ogni punto $p$, $U(p)$ il disco aperto di centro $p$ e raggio $delta$. Infatti $X=\bigcup_{p\inX} U(p)$. Adesso dovrebbe essere tutto chiaro.
in uno spazio metrico mi è chiaro ma se non ci troviamo in questo caso e si parla in generale come lo dimostro? lo so è una domanda stupida ma sono troppo stanca per pensare....
grazie
Se non ci troviamo in uno spazio metrico non parliamo proprio di limitatezza. E' una proprietà che dipende dalla metrica, non una proprietà topologica.
"dissonance":
Se non ci troviamo in uno spazio metrico non parliamo proprio di limitatezza. E' una proprietà che dipende dalla metrica, non una proprietà topologica.
ops gaffe assurda temo...chiedo venia...
No, perché? Invece è una cosa importante da notare questa. La limitatezza non è una proprietà topologica e difatti esistono omeomorfismi che non la conservano (vedi $x\mapstotan\ x$ omeomorfismo di $(-pi/2, pi/2)$ in $(-infty, infty)$).
Forse sono state proprio considerazioni come questa a spingere verso una definizione di compattezza per ricoprimenti aperti. In fondo la compattezza per successioni, come segnalava Luca Lussardi, è sostanzialmente la completezza con la totale limitatezza. Infatti in uno spazio totalmente limitato ogni successione ha una estratta di Cauchy (e questo è fondamentalmente il principio dei cassetti: se dividi lo spazio in un numero finito di dischi aperti, almeno in uno ci devono essere infiniti termini della successione; con questo principio costruisci una estratta di Cauchy) e quindi, per la completezza, una estratta convergente. Però entrambe queste proprietà non sono proprietà topologiche, come dimostra l'esempio di prima. Vabbé, solo un mio volo pindarico. Ciao!
Forse sono state proprio considerazioni come questa a spingere verso una definizione di compattezza per ricoprimenti aperti. In fondo la compattezza per successioni, come segnalava Luca Lussardi, è sostanzialmente la completezza con la totale limitatezza. Infatti in uno spazio totalmente limitato ogni successione ha una estratta di Cauchy (e questo è fondamentalmente il principio dei cassetti: se dividi lo spazio in un numero finito di dischi aperti, almeno in uno ci devono essere infiniti termini della successione; con questo principio costruisci una estratta di Cauchy) e quindi, per la completezza, una estratta convergente. Però entrambe queste proprietà non sono proprietà topologiche, come dimostra l'esempio di prima. Vabbé, solo un mio volo pindarico. Ciao!
ok un ultimo favore poi non rompo più le scatole a nessuno....non riesco a trovare in giro, e ovviamente non mi vengono in mente, esempi di spazi totalmente limitati ma non compatti e completi ma non compatti....
Uno spazio completo ma non compatto è facile: $RR$.
Mentre se vuoi uno spazio totalmente limitato ma non compatto puoi prendere un compatto (che quindi è totalmente limitato) e togliergli un punto. Ad esempio $[0, 1)$ è totalmente limitato, ma non è compatto, perché non è completo: prendi la successione $(1-1/n)$, che è contenuta in $[0, 1)$ ed è di Cauchy, ma non converge.
Mentre se vuoi uno spazio totalmente limitato ma non compatto puoi prendere un compatto (che quindi è totalmente limitato) e togliergli un punto. Ad esempio $[0, 1)$ è totalmente limitato, ma non è compatto, perché non è completo: prendi la successione $(1-1/n)$, che è contenuta in $[0, 1)$ ed è di Cauchy, ma non converge.
"dissonance":
Uno spazio completo ma non compatto è facile: $RR$.
Mentre se vuoi uno spazio totalmente limitato ma non compatto puoi prendere un compatto (che quindi è totalmente limitato) e togliergli un punto. Ad esempio $[0, 1)$ è totalmente limitato, ma non è compatto, perché non è completo: prendi la successione $(1-1/n)$, che è contenuta in $[0, 1)$ ed è di Cauchy, ma non converge.
grazie mille..molto genitile....
prego... comunque attenzione, quello che ho scritto prima è vero per l'esempio ma non in generale, mi sono espresso male. Cioè non è detto che togliendo un punto ad un compatto ottieni qualcosa di non compatto. Per esempio, ${0, 1}$ è compatto in $RR$ ma continua ad esserlo se gli togli un punto.
ah ok grazie del chiarimento 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo