Compatto?
Ciao forum 
E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).
Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"
E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di sottosuccessione che non ha nessuna che converga?
Sono confuso e spero in una mano nella comprensione. CIao!
PS: ad esempio mi chiedo devo mostrare che chiuso limitato $!=>$ compatto, quindi nego la definizione edeto trovare che : esisite una successione t.c per ogni $x_k$ estratta non converge? E' una buona idea?
E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).
Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"
E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di sottosuccessione che non ha nessuna che converga?
Sono confuso e spero in una mano nella comprensione. CIao!
PS: ad esempio mi chiedo devo mostrare che chiuso limitato $!=>$ compatto, quindi nego la definizione edeto trovare che : esisite una successione t.c per ogni $x_k$ estratta non converge? E' una buona idea?
Risposte
@otta96: Mille grazie per la risposta. Sto seguendo molto appassionatamente la discussione che mi hai segnalato in logica e algebra. Non l'avrei mai vista ed è per me stata più utile del libro stesso.
In attesa che continui la discussione nell'altra pagina che continuo a seguire perché ci sono due spunti di OP che mi interessano nell'ultimo messaggio, vorrei applicare quanto di la detto per questo caso della discussione:
PRIMA SOLUZIONE:
Questa situazione sarebbe
$(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))=>(F<=>forallx(C(x)<=>B(x))$
come hai fatto tu devo prendere (I) $(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))$ vera e mostrare che è vera (II) $(F<=>forallx(C(x)<=>B(x))$ se non sbaglio.
Adesso voglio capire come da I concludere che II è vera: ragiono così,
I è vera quando
primo caso: le due parti dell'and sono vere, quindi ogni elemento (rispetta A se e solo se rispetta B), e ogni elemento (rispetta C se e solo rispetta A) e sua volta se e solo se vale F. Quindi è vero per "transitività sugli elementi" che ogni elemento (rispetta C se e solo se rispetta B) se e solo se (vale F).
altri casi per cui possa essere vera I non ne esistono infatti se uno tra A, B, F, C o A non fosse vero per qualche x subito avrei $(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))$ falsa e quindi è bansalmente vera l'implicazione totale.
SECONDA SOLUZIONE
Oppure, proprio mentre stavo scrivendo quesot messaggio, mi è venuta i mente un'altra idea:
Siccome sono tutte slegate tra loro le proposizioni, avrei mettendoci la quantificazione: $A<=>B and F<=>C<=>A $ e come conseguente $F<=>C<=>B$
Facendo la tavola: $A<=>B and F<=>C<=>A $ => $F<=>C<=>B$ viene una tautologia, quindi è vero!
Mi sembrano due modi validi entrambi o sto sbagliando qualcosa di stupido?
Potrei chiederti una correzione? Perché vorrei capire se ci sono arrivato o meno grazie ai vostri spunti dell'altra conversazione. Ti ringrazio.
In attesa che continui la discussione nell'altra pagina che continuo a seguire
perché ci sono due spunti di OP che mi interessano nell'ultimo messaggio, vorrei applicare quanto di la detto per questo caso della discussione:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
=>
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$
PRIMA SOLUZIONE:
Questa situazione sarebbe
$(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))=>(F<=>forallx(C(x)<=>B(x))$
come hai fatto tu devo prendere (I) $(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))$ vera e mostrare che è vera (II) $(F<=>forallx(C(x)<=>B(x))$ se non sbaglio.
Adesso voglio capire come da I concludere che II è vera: ragiono così,
I è vera quando
primo caso: le due parti dell'and sono vere, quindi ogni elemento (rispetta A se e solo se rispetta B), e ogni elemento (rispetta C se e solo rispetta A) e sua volta se e solo se vale F. Quindi è vero per "transitività sugli elementi" che ogni elemento (rispetta C se e solo se rispetta B) se e solo se (vale F).
altri casi per cui possa essere vera I non ne esistono infatti se uno tra A, B, F, C o A non fosse vero per qualche x subito avrei $(forallx(A(x)<=>B(x)) and F<=>forallx(C(x)<=>A(x))$ falsa e quindi è bansalmente vera l'implicazione totale.
SECONDA SOLUZIONE
Oppure, proprio mentre stavo scrivendo quesot messaggio, mi è venuta i mente un'altra idea:
Siccome sono tutte slegate tra loro le proposizioni, avrei mettendoci la quantificazione: $A<=>B and F<=>C<=>A $ e come conseguente $F<=>C<=>B$
Facendo la tavola: $A<=>B and F<=>C<=>A $ => $F<=>C<=>B$ viene una tautologia, quindi è vero!
Mi sembrano due modi validi entrambi o sto sbagliando qualcosa di stupido?
Potrei chiederti una correzione? Perché vorrei capire se ci sono arrivato o meno grazie ai vostri spunti dell'altra conversazione. Ti ringrazio.
Ho fatto una correzione perché mi sono impappinato, ora è corretto credo!
La prima soluzione va bene, la seconda no perchè $A, B$ e $C$ devono avere un argomento, non si può omettere.
Grazie mille, sono contento che grazie a quella discussione dall'altra parte ho capito il primo metodo. Non ne sarei stato capace prima.
Per il secondo:
Mi spiego meglio, ovviamente in generale non si può fare. Però in questo preciso caso essendo che
$(∀x(A(x)⇔B(x)) and F⇔∀x(C(x)⇔A(x))⇒(F⇔∀x(C(x)⇔B(x))$
sono tutte quantificate in modo separato, quindi di fatto sono proposizioni a sé stanti che si chiudono in se stesse. La mia idea era quindi definire:
$∀x(A(x)⇔B(x)):=A<=>B$
$∀x(C(x)⇔A(x)):=C<=>A$ e via dicendo
mi sembra funzionare facendomi un esempio: fissato x se P(x) => Q(x) è come dire P=>Q e mi posso studiare la tavola di verità di P=>Q. Un esempio: per ogni x, se x scodinzola => è un cane si rende con la tavola P=>X prendendo i vari valori di P vero e falso è il variare la x fissata di volta in volta. Mi sembra quindi di ottenere quella tavola.
In questo modo mettendo tutti quelle definizioni sopra assieme ho:
$(A⇔BandF⇔C⇔A) => F⇔C⇔B$. Credo di non capire perché questo non funzioni.
però, in effetti, mi viene il dubbio che potrei agire così solo se fosse un caso tipo
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))andF⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒(F⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,B(x)))$ a questo punto è vero che chiamato ∀x,A(x)=A e ∀x,B(x)=B avrei: $(A⇔BandF⇔C⇔A) => F⇔C⇔B$
Bel dubbione.
L'unica cosa che non mi è tanto chiara e se mi potessi aiutare a capire il perché (se la seconda è giusta) funziona ma nella prima no.
Per il secondo:
Mi spiego meglio, ovviamente in generale non si può fare. Però in questo preciso caso essendo che
$(∀x(A(x)⇔B(x)) and F⇔∀x(C(x)⇔A(x))⇒(F⇔∀x(C(x)⇔B(x))$
sono tutte quantificate in modo separato, quindi di fatto sono proposizioni a sé stanti che si chiudono in se stesse. La mia idea era quindi definire:
$∀x(A(x)⇔B(x)):=A<=>B$
$∀x(C(x)⇔A(x)):=C<=>A$ e via dicendo
mi sembra funzionare facendomi un esempio: fissato x se P(x) => Q(x) è come dire P=>Q e mi posso studiare la tavola di verità di P=>Q. Un esempio: per ogni x, se x scodinzola => è un cane si rende con la tavola P=>X prendendo i vari valori di P vero e falso è il variare la x fissata di volta in volta. Mi sembra quindi di ottenere quella tavola.
In questo modo mettendo tutti quelle definizioni sopra assieme ho:
$(A⇔BandF⇔C⇔A) => F⇔C⇔B$. Credo di non capire perché questo non funzioni.
però, in effetti, mi viene il dubbio che potrei agire così solo se fosse un caso tipo
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))andF⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒(F⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,B(x)))$ a questo punto è vero che chiamato ∀x,A(x)=A e ∀x,B(x)=B avrei: $(A⇔BandF⇔C⇔A) => F⇔C⇔B$
Bel dubbione.
L'unica cosa che non mi è tanto chiara e se mi potessi aiutare a capire il perché (se la seconda è giusta) funziona ma nella prima no.
È semplicemente che se non la quantifichi vuol dire altro rispetto a quello che volevi dire, perchè alcune di quelle sono quantificate su un insieme ma non la $F$, mentre con i quantificatori è la I, che è giusta.
Solo due cose
1)
Però se fosse una cosa del genere mi sembra invece giusto poter ridurre così o sbaglio?
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))andF⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒(F⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,B(x)))$ a questo punto è vero che chiamato ∀x,A(x)=A e ∀x,B(x)=B avrei: $(A⇔BandF⇔C⇔A) => (F⇔C⇔B)$
o è comunque sbagliato per via di F?
-.-.-.-.-.-.
2)
Proviamo togliendo F se quello è il problema
$(∀x(A(x)⇔B(x))and∀x(C(x)⇔A(x))⇒(∀x(C(x)⇔B(x))$
non posso ridurla a
$(A⇔BandC⇔A)⇒(C⇔B)$
mentre
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))and(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒((∀x,C(x))⇔(∀x,B(x))$
è proprio
$(A⇔BandC⇔A)⇒(C⇔B)$
è questa cosa che non mi è chiarissima, il perché.
1)
Però se fosse una cosa del genere mi sembra invece giusto poter ridurre così o sbaglio?
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))andF⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒(F⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,B(x)))$ a questo punto è vero che chiamato ∀x,A(x)=A e ∀x,B(x)=B avrei: $(A⇔BandF⇔C⇔A) => (F⇔C⇔B)$
o è comunque sbagliato per via di F?
-.-.-.-.-.-.
2)
Proviamo togliendo F se quello è il problema
$(∀x(A(x)⇔B(x))and∀x(C(x)⇔A(x))⇒(∀x(C(x)⇔B(x))$
non posso ridurla a
$(A⇔BandC⇔A)⇒(C⇔B)$
mentre
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))and(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒((∀x,C(x))⇔(∀x,B(x))$
è proprio
$(A⇔BandC⇔A)⇒(C⇔B)$
è questa cosa che non mi è chiarissima, il perché.
"sansipersico":
$((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))andF⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒(F⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,B(x)))$ a questo punto è vero che chiamato ∀x,A(x)=A e ∀x,B(x)=B avrei: $(A⇔BandF⇔C⇔A) => (F⇔C⇔B)$
o è comunque sbagliato per via di F?
Ma hai scritto una cosa diversa, prima (un pezzo) era $AAx(C(x)<=>A(x))$, ora $(AAxC(x))<=>(AAxA(x))$, è questo il problema, il modo in cui è quantificato $x$ fa "intrecciare" $A$ e $C$, ma solo in quel punto.
2)
Proviamo togliendo F se quello è il problema
$(∀x(A(x)⇔B(x))and∀x(C(x)⇔A(x))⇒(∀x(C(x)⇔B(x))$
non posso ridurla a
$(A⇔BandC⇔A)⇒(C⇔B)$
Invece si, perchè tutto vale per ogni $x$.
"otta96":
Ma hai scritto una cosa diversa, prima (un pezzo) era $AAx(C(x)<=>A(x))$, ora $(AAxC(x))<=>(AAxA(x))$
Certo che si
ho scritto cose diverse perché stavo ragionando su come e quando si può ridurre alla semplice tavola logica nellle varie situazioni che stavo provando a svolgere e ho fatto vari esempi per capire quali funzionavano e quali no:1) $(∀x(A(x)⇔B(x))and∀x(C(x)⇔A(x))⇒(∀x(C(x)⇔B(x))$
si riduce a
$(A⇔BandC⇔A)⇒(C⇔B)$
2) eppure qualcosa di molto simile
$[∀x,((A(x)⇒B(x))and(∀x,(A(x)andB(x))⇒C(x)])⇒[∀x(A(x)⇒C(x))]$
non può funzionare quantificandola come
$[(A⇒B)and((AandB)⇒C)]⇒(A⇒C)$
3) $(∀x(A(x)⇔B(x))andF⇔∀x(C(x)⇔A(x))⇒(F⇔∀x(C(x)⇔B(x))$
questo non diventa: $(A⇔BandF⇔C⇔A)⇒(F⇔C⇔B)$ per via del problema su F che dicevi.
4) $((∀x,A(x))⇔(∀x,B(x)))andF⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,A(x)))⇒(F⇔(∀x,C(x))⇔(∀x,B(x)))$
questo invece è corretto renderlo come: $(A⇔BandF⇔C⇔A)⇒(F⇔C⇔B)$
Mi scuso se ho rotto le scatole con questo OT però mi ha messo molti dubbi la dimostrazine in queste pagine e volevo capire meglio.
Sono corretti i 4 punti sopra? Ti ringrazio per il tuo mega aiuto.
Solo sul 2) si devo correggere, infatti è vero e gli altri vanno bene. Sempre perchè tutte le cose sono quantificate nello stesso modo.
Sì, è propriovero. Ho fatto un errore sul 2).
Mi è chiaro. Grazie per tutto!
Mi è chiaro. Grazie per tutto!
Mi accorgo solo ora, non avendo più fatto l'accesso causa sessione intensa di esami 
, che la mia discussione ha avuto un segito enorme. Ne sono contento, direi che molte cose dette mi hanno incuriosito e risolto altri dubbi leggendole.
C'è una sola cosa che mi pare non sia stata analizzata quindi provo a chiedere, sperando non sia troppo tardi.
Siccome avete dato due caratterizzazioni per il concetto di "chiuso", cioè
E chiuso <=> $∀x(∃x_n:x_n→x=>x∈E)$ e l'altra: E chiuso <=> $AAx_n,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))$
Vorrei fare solamente due domande a riguardo:
A] La prima domanda è molto pratica, ossia non so bene come parentesizzare la: $∀x(∃x_n:x_n→x=>x∈E)$
se sia meglio: $∀x in X,((∃{x_n}⊆E:x_n→x)=>x∈E)$
oppure: $∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))$
B] la seconda domanda mi interessa di più perché vedo che potrebbe essermi utile anche in futuro per capire come dimostrare. Prendo una delle due scritture sopra tanto il discorso è analogo e anche se non è quella giusta la logica era quella.
Studiamo
${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}=>{AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$
La dimostrazione è facile: assumo l'ipotesi (prima graffa da sinistra) vera, prendo una $x_n$ tale che $x_n ->x$, questa essendo convergente a un certo x soddisferà l'ipotesi (per ogni) e quindi esiste tal $x_n$ convergente a $x$ da cui $x∈E$ per ipotsi stessa.
Il mio dubbio nasce per il ragionamento seguente che deve avere un errore ma NON riesco a trovarlo per quanto ci stia pensando da stamattina, per questo scrivo
:
Abbiamo dimostrato che è una implicazione vera, dunque come ogni implicazione che si rispetti è vera se sia l'antecedente che il conseguente sono veri.
Dato che ${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}$ vale per ogni, io quando assumo l'ipotesi vera potrei averla vera perché c'è un $x'$ per cui $x_n→x'$ è falsa. Ora avendo $(x_n→x'=>x'∈E)$ antecedente falso, sarà vera.
Mi sposto sul secondo membro, cioè ${AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$ a questo punto cosa mi garantisce che quest'ultima è vera per ogni $x_n$ avendo l'ipotesi indagata per un solo $x'$ fisso per cui è vera? io so che per un certo $x'$ l'ipotesi (parentesi graffa di sinistra) è vera per ovvietà e questo non mi permette più di determinare che sicuramene $x inE$, a questo punto non riesco più a concludere nulla su ${AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$ perché potrebbe esserci un $x_n$ tale che $x_n ->x$ ma l'ipotesi in questo caso non mi aiuterebbe.
Sono orbo, non capisco dove prendo la fregatura.
Mi scuso con tutti e in particolare con @ otta96 per intervenire solo oggi e farela domanda, ma ho finito ieri il mio ultimo esame e finalmente ho tempo di vivere
. Spero non sia troppo tardi e necroposting
, che la mia discussione ha avuto un segito enorme. Ne sono contento, direi che molte cose dette mi hanno incuriosito e risolto altri dubbi leggendole.C'è una sola cosa che mi pare non sia stata analizzata quindi provo a chiedere, sperando non sia troppo tardi.
Siccome avete dato due caratterizzazioni per il concetto di "chiuso", cioè
E chiuso <=> $∀x(∃x_n:x_n→x=>x∈E)$ e l'altra: E chiuso <=> $AAx_n,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))$
Vorrei fare solamente due domande a riguardo:
A] La prima domanda è molto pratica, ossia non so bene come parentesizzare la: $∀x(∃x_n:x_n→x=>x∈E)$
se sia meglio: $∀x in X,((∃{x_n}⊆E:x_n→x)=>x∈E)$
oppure: $∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))$
B] la seconda domanda mi interessa di più perché vedo che potrebbe essermi utile anche in futuro per capire come dimostrare. Prendo una delle due scritture sopra tanto il discorso è analogo e anche se non è quella giusta la logica era quella.
Studiamo
${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}=>{AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$
La dimostrazione è facile: assumo l'ipotesi (prima graffa da sinistra) vera, prendo una $x_n$ tale che $x_n ->x$, questa essendo convergente a un certo x soddisferà l'ipotesi (per ogni) e quindi esiste tal $x_n$ convergente a $x$ da cui $x∈E$ per ipotsi stessa.
Il mio dubbio nasce per il ragionamento seguente che deve avere un errore ma NON riesco a trovarlo per quanto ci stia pensando da stamattina, per questo scrivo
:Abbiamo dimostrato che è una implicazione vera, dunque come ogni implicazione che si rispetti è vera se sia l'antecedente che il conseguente sono veri.
Dato che ${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}$ vale per ogni, io quando assumo l'ipotesi vera potrei averla vera perché c'è un $x'$ per cui $x_n→x'$ è falsa. Ora avendo $(x_n→x'=>x'∈E)$ antecedente falso, sarà vera.
Mi sposto sul secondo membro, cioè ${AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$ a questo punto cosa mi garantisce che quest'ultima è vera per ogni $x_n$ avendo l'ipotesi indagata per un solo $x'$ fisso per cui è vera? io so che per un certo $x'$ l'ipotesi (parentesi graffa di sinistra) è vera per ovvietà e questo non mi permette più di determinare che sicuramene $x inE$, a questo punto non riesco più a concludere nulla su ${AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$ perché potrebbe esserci un $x_n$ tale che $x_n ->x$ ma l'ipotesi in questo caso non mi aiuterebbe.
Sono orbo, non capisco dove prendo la fregatura.
Mi scuso con tutti e in particolare con @ otta96 per intervenire solo oggi e farela domanda, ma ho finito ieri il mio ultimo esame e finalmente ho tempo di vivere
. Spero non sia troppo tardi e necroposting
@otta96: ci ho pensato e penso la notte mi abbia portato consiglio. Ma volevo chiederti se è giusto.
Lasciando le domande A] (quella sono ancora in dubbio) e B] di cui sopra volevo provare a rispondere alla B]
Il mio errore in quel ragionamento mi pare essere che quando fisso $x'$ nell'antecedente, cioè in: ${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}$ per cui è falsa $x_n→x'$ ovviamente è evidente che sia vera questa proposizione per quell'$x'$.
Però quando vado a studiare il conseguente ${AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$ per dimostrarlo vero devo considerare l'antecedente per TUTTE le $x$ (non solo quella da me fissata prima), e si nota che per le $x_n$ e $x$ per cui è vero $x_n ->x$ del conseguente, ricadiamo sempre nelle $x$ e $x_n$ per cui l'antecedente: ${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}$ è vero con $x_n→x$ vero (e non falso). Quindi non cado mai nel caso della $x'$ che avevo fissato per cui era falsa $x_n→x$. Potrebbe andare? Spero di aver capito, ma aspetto tua conferma dato che spesso sbaglio con queste conclusioni, volevo esserne certo. Ti ringrazio molto.
Lasciando le domande A] (quella sono ancora in dubbio) e B] di cui sopra volevo provare a rispondere alla B]
Il mio errore in quel ragionamento mi pare essere che quando fisso $x'$ nell'antecedente, cioè in: ${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}$ per cui è falsa $x_n→x'$ ovviamente è evidente che sia vera questa proposizione per quell'$x'$.
Però quando vado a studiare il conseguente ${AA{x_n}⊆E,(∃x in X : ( x_n ->x=>x_n E))}$ per dimostrarlo vero devo considerare l'antecedente per TUTTE le $x$ (non solo quella da me fissata prima), e si nota che per le $x_n$ e $x$ per cui è vero $x_n ->x$ del conseguente, ricadiamo sempre nelle $x$ e $x_n$ per cui l'antecedente: ${∀x in X,(∃{x_n}⊆E:(x_n→x=>x∈E))}$ è vero con $x_n→x$ vero (e non falso). Quindi non cado mai nel caso della $x'$ che avevo fissato per cui era falsa $x_n→x$. Potrebbe andare? Spero di aver capito, ma aspetto tua conferma dato che spesso sbaglio con queste conclusioni, volevo esserne certo. Ti ringrazio molto.
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