Compatto?
Ciao forum 
E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).
Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"
E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di sottosuccessione che non ha nessuna che converga?
Sono confuso e spero in una mano nella comprensione. CIao!
PS: ad esempio mi chiedo devo mostrare che chiuso limitato $!=>$ compatto, quindi nego la definizione edeto trovare che : esisite una successione t.c per ogni $x_k$ estratta non converge? E' una buona idea?
E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).
Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"
E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di sottosuccessione che non ha nessuna che converga?
Sono confuso e spero in una mano nella comprensione. CIao!
PS: ad esempio mi chiedo devo mostrare che chiuso limitato $!=>$ compatto, quindi nego la definizione edeto trovare che : esisite una successione t.c per ogni $x_k$ estratta non converge? E' una buona idea?
Risposte
Il punto è che anche il limite deve appartenere all'insieme, quindi in quel caso la successione $(1/n,1/n)_(n\inNN)$, è una successione limitata non convergente.
Ciao 
non ho capito però una cosa. CIoè, se la definizione è che ho un compatto se ogni successione ha una sottosuccessione convergente.
allora io pensavo che nel caso di R2 \ {0} se ho un non compatto allora devo mostrare che non vale la definizione, cioè negarla quindi: esiste una successione t.c per ogni xk estratta non converge no? E invece perché non va bene?
La seconda cosa che volevo chiederti è invece sulla tua risposta, sono d'accordo che la successione da te indicata non sia convergente, ma per definizione di "compatto" non basterebbe trovarne una sottosuccessione convergente? Non mi torna con la definizione data il fatto che se ho una successione non convergente allora non è compatto, da dove mi esce?
Grazie
non ho capito però una cosa. CIoè, se la definizione è che ho un compatto se ogni successione ha una sottosuccessione convergente.
allora io pensavo che nel caso di R2 \ {0} se ho un non compatto allora devo mostrare che non vale la definizione, cioè negarla quindi: esiste una successione t.c per ogni xk estratta non converge no? E invece perché non va bene?
La seconda cosa che volevo chiederti è invece sulla tua risposta, sono d'accordo che la successione da te indicata non sia convergente, ma per definizione di "compatto" non basterebbe trovarne una sottosuccessione convergente? Non mi torna con la definizione data il fatto che se ho una successione non convergente allora non è compatto, da dove mi esce?
Grazie
Manca un passaggio a quello che ho detto, devi notare che ogni sottosuccessione di quella successione non è convergente, infatti convergendo essa in $RR^2$ a $0$, anche le sue sottosuccessioni lo faranno e quindi non sono convergenti in $RR^2\setminus{0}$.
Ahh ora ho capito, non ci ero arrivato.
Comunque in sostanza stai proprio mostrando questo:
Mi piacerebbe chiederti un'altra cosa riguardo i compatti.
Dà in particolare una caratterizzazione: "Un insieme E è chiuso se e solo se per ogni successione in E che converga in X, il suo limite appartiene ad E"
tuttavia da altre fonti ho trovato questa caratterizzazione:
"Sia E contenuto in X, $forall X$ x appartiene alla chiusura di e se e solo se è limite di una successione a valori in E". Oss: La chiusura di E coincide dunque con l’insieme di tutti i possibili punti limite di successioni in E
D'altra parte per ancora un'altra caratterizzazione: "un sottoinsieme $C ⊆ X$ è chiuso sse coincide con l’insieme di tutti i suoi punti aderenti, ossia $C = ¯C$"
Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E. Mi sembra giusto vero?
Comunque in sostanza stai proprio mostrando questo:
allora io pensavo che nel caso di R2 \ {0} se ho un non compatto allora devo mostrare che non vale la definizione, cioè negarla quindi: esiste una successione t.c per ogni xk estratta non converge no? E invece perché non va bene?, che mi importava capire se avesse senso. E ora capisco di si con la tua spiegazione.
Mi piacerebbe chiederti un'altra cosa riguardo i compatti.
Dà in particolare una caratterizzazione: "Un insieme E è chiuso se e solo se per ogni successione in E che converga in X, il suo limite appartiene ad E"
tuttavia da altre fonti ho trovato questa caratterizzazione:
"Sia E contenuto in X, $forall X$ x appartiene alla chiusura di e se e solo se è limite di una successione a valori in E". Oss: La chiusura di E coincide dunque con l’insieme di tutti i possibili punti limite di successioni in E
D'altra parte per ancora un'altra caratterizzazione: "un sottoinsieme $C ⊆ X$ è chiuso sse coincide con l’insieme di tutti i suoi punti aderenti, ossia $C = ¯C$"
Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E. Mi sembra giusto vero?
Si sono tutte equivalenti. Però in che contesto sei, perchè non sempre valgono queste cose, cosa è $X$?
In realtà è analisi 1 (quindi R e topologia std), però dopo quella frase del prof per rispondere a una domanda ho letto altre cose approfondendo marginalmente su quel che ho trovato in rete e per il tempo che avevo a disposizione. E da qui i moltissimi dubbi.
Se ho ben capito quello è vero perché siamo in una topologia in cui vale il primo assioma di numerabilità. Però è solo una cosa che ho letto, non saprei dire il motivo per cui sia vero.
Se ho ben capito quello è vero perché siamo in una topologia in cui vale il primo assioma di numerabilità. Però è solo una cosa che ho letto, non saprei dire il motivo per cui sia vero.
Esatto, poi volendo varrebbe anche in condizioni più deboli, ma lasciamo stare.
Speriamo di rivedere bene queste cose in un corso più approfondito perché ad analisi non mi è sembrato granché.
@otta96: vorrei poterti fare una domanda su questa discussione perché c'è una cosa che non capisco e trovo utile capire
Da una parte di dice che $E$ è chiuso <=> per ogni $x_n->x => x in E)$ (*)
D'altra parte da "$forall x, x in E' <=> ∃x_n : x_n->x $" , possiamo trovare la caratterizzazione
"$E$ chiuso <=> $forall x, ∃ x_n : x_n->x"<=>x in E' $" (**)
Ora, se io prendo le $x_n$ che convergono a $x$ (cioè prendo le $x_n->x$) ciò vuol dire che prendo tutte le xn legate a una certa x, quindi dire "per ogni ($x_n->x$)" è come dire "per ogni x, $x_n->x$".
E quindi mi pare di poter riscrivere la (*) con questa sostituzione:
$E$ è chiuso <=> per ogni x, $x_n->x => x in E$", ma questo sarebbe palesemente simile a (**)
"$E$ chiuso <=> $forall x, ∃ x_n : x_n->x"=>x in E' $", solo che mandante del <=, che invece ci andrebbe.
Vuol dire quindi che sbaglio ma non ho capito cosa.
"Un insieme E è chiuso se e solo se per ogni successione in E che converga in X, il suo limite appartiene ad E"indico con E' la chiusura di E.
tuttavia da altre fonti ho trovato questa caratterizzazione:
"Sia E contenuto in X, $forall X$ x appartiene alla chiusura di e se e solo se è limite di una successione a valori in E". Oss: La chiusura di E coincide dunque con l’insieme di tutti i possibili punti limite di successioni in E
D'altra parte per ancora un'altra caratterizzazione: "un sottoinsieme $C ⊆ X$ è chiuso sse coincide con l’insieme di tutti i suoi punti aderenti, ossia $C = ¯C$"
Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E.
Da una parte di dice che $E$ è chiuso <=> per ogni $x_n->x => x in E)$ (*)
D'altra parte da "$forall x, x in E' <=> ∃x_n : x_n->x $" , possiamo trovare la caratterizzazione
"$E$ chiuso <=> $forall x, ∃ x_n : x_n->x"<=>x in E' $" (**)
Ora, se io prendo le $x_n$ che convergono a $x$ (cioè prendo le $x_n->x$) ciò vuol dire che prendo tutte le xn legate a una certa x, quindi dire "per ogni ($x_n->x$)" è come dire "per ogni x, $x_n->x$".
E quindi mi pare di poter riscrivere la (*) con questa sostituzione:
$E$ è chiuso <=> per ogni x, $x_n->x => x in E$", ma questo sarebbe palesemente simile a (**)
"$E$ chiuso <=> $forall x, ∃ x_n : x_n->x"=>x in E' $", solo che mandante del <=, che invece ci andrebbe.
Vuol dire quindi che sbaglio ma non ho capito cosa.
Non si capisce bene come sono quantificate le variabili che usi, comunque devi separare i criteri per determinare la chiusura di un insieme e quelli per determinare se un insieme è chiuso, se non fai confusione tra questi e ci ripensi dovresti venirne a capo, altrimenti lo riformuli in un modo più chiaro e mi richiedi.
Hai ragione ho fatto un casino la mia idea era che se prendo le xn che convergono a x (cioè prendo le xn→x) ciò vuol dire che prendo tutte le xn legate a una certa x, quindi dire "per ogni (xn→x)" è come dire "per ogni x, xn→x".
Ma credo questa sia una ciofecata si idea perché ripensandoci è insensato dire che dire "per ogni (xn→x)" è come dire "per ogni x, xn→x". perché quntificare (xn→x) non è granché sensato.
Dunque dunque...
E' chiusura di E
$forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)$
io poi so che E è chiuso se coincide con la chiusura: $E$ chiuso <=> $forallx,(x in E <=> x in E')$
Quindi mettendo assieme le due precedenti mi pare di ottenere:
$E$ chiuso <=> $forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x)$ (**)
e non:
Questo sarebbe: E è chiuso <=> ogni suo punto è limite di una successione a valori in E
ossia: E chiuso <=> $forall x(x in E => ∃x_n : x_n->x$) e mi sembra mancare la <= richiesta in (**)
Spero di aver migliorato l'esposizine. Grazie!
Ma credo questa sia una ciofecata si idea perché ripensandoci è insensato dire che dire "per ogni (xn→x)" è come dire "per ogni x, xn→x". perché quntificare (xn→x) non è granché sensato.
Dunque dunque...
E' chiusura di E
"Sia E contenuto in X, ∀X x appartiene alla chiusura di e se e solo se è limite di una successione a valori in E"
$forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)$
io poi so che E è chiuso se coincide con la chiusura: $E$ chiuso <=> $forallx,(x in E <=> x in E')$
Quindi mettendo assieme le due precedenti mi pare di ottenere:
$E$ chiuso <=> $forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x)$ (**)
e non:
Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E. Mi sembra giusto vero?
Questo sarebbe: E è chiuso <=> ogni suo punto è limite di una successione a valori in E
ossia: E chiuso <=> $forall x(x in E => ∃x_n : x_n->x$) e mi sembra mancare la <= richiesta in (**)
Spero di aver migliorato l'esposizine
. Grazie!
Molto meglio, comunque l'ultima cosa è falsa perchè ogni insieme soddisfa la proprietà a destra dell'equivalenza.
Grazie.
Quindi sostanzialmente:
1)
è FALSO
2)
mente quanto ottenuto con quelle interpolazioni logiche
$E$ chiuso <=> $forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x)$
questo è VERO
Giusto?
Volevo solo esser certo
PS:
[ot]l'altra risposta in logica (che invero era partita da questa) ora la leggo ma ci metterò ben di più a rispondere perché voglio ragionarci un po' sopra.
[/ot]
Quindi sostanzialmente:
1)
Quindi cosa posso dedurre, beh che E è chiuso se e solo se ogni suo punto è limite di una successione a valori in E. Mi sembra giusto vero?tradotto: E chiuso <=> $forall x(x in E => ∃x_n : x_n->x$)
è FALSO
2)
mente quanto ottenuto con quelle interpolazioni logiche
$E$ chiuso <=> $forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x)$
questo è VERO
Giusto?
Volevo solo esser certo
PS:
[ot]l'altra risposta in logica (che invero era partita da questa) ora la leggo ma ci metterò ben di più a rispondere perché voglio ragionarci un po' sopra.
[/ot]
Si giusto, anche se andrebbe specificato che gli $x_n$ stanno in $E$.
Grazie, è vero è chiaro. Sei stato gentilissimo a chiarirmi le domande 
Tutto era nato da voler dimostrare il se e solo se in rosso:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
se e solo se
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$(*)
che era la conclusione a cui ero arrivato sopra.
e quindi mi sono poi incastrato in vari ragionamenti simili da cui è figliata la domanda simile in logica:
$(∀y,P(y)=>∀x,Q(x))=>(∀z,(P(z)=>Q(z)))$
che una volta capita mi aiuterebbe anche a comprendere la (*) sul perché sia corretto operare così[nota]inizialmente l'ho fatto ad istinto ma poi pensandoci non mi era chiaro[/nota], perché ragionerei nello stesso modo. Il mio problema sono tutti questi quantificatori incapsulati che non so come gestire.
ma per questa rimando di là. E' che devo capirlo perché con la logica sono davvero un caprone e credo mi aiuterà anche in futuro
Tutto era nato da voler dimostrare il se e solo se in rosso:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
se e solo se
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$(*)
che era la conclusione a cui ero arrivato sopra.
e quindi mi sono poi incastrato in vari ragionamenti simili da cui è figliata la domanda simile in logica:
$(∀y,P(y)=>∀x,Q(x))=>(∀z,(P(z)=>Q(z)))$
che una volta capita mi aiuterebbe anche a comprendere la (*) sul perché sia corretto operare così[nota]inizialmente l'ho fatto ad istinto ma poi pensandoci non mi era chiaro[/nota], perché ragionerei nello stesso modo. Il mio problema sono tutti questi quantificatori incapsulati che non so come gestire.
ma per questa rimando di là. E' che devo capirlo perché con la logica sono davvero un caprone e credo mi aiuterà anche in futuro
"krakken":
Tutto era nato da voler dimostrare il se e solo se in rosso:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
se e solo se
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$
Mi piacerebbe chiedervi @otta96 o @kraken, ma non ho capito se tu l'hai dimostrato alla fine o no, come si dimostra quel se e solo se? Oppure se nn vale il se e solo se se vale almeno una delle due implicazioni e come dimostrarla in quel caso?
Ci ho provato in vari modi ma non sono riuscito. Mi incuriosirebbe tanto tanto
.Mi aiutate? perché sto anche io studiando queste cose e mi interessa. Non ci avevo pensato prima di leggere qui per puro caso.
Guarda, siccome mi citavi, ti risponderei davvero volentieri e con piacere ma non ne sono in grado. Perché come dicevo la mia dimostrazione ha seguito la "logica", ma in realtà poi ha fatto nascere altre domande in me sul fatto di averlo fatto in modo corretto e ci sto ancora lavorando grazie all'aiuto di otta.
Spero possa passare a darti una risposta su come dimostrare rigorosamente quello che citi di tuo interesse, ovvero
Spero possa passare a darti una risposta su come dimostrare rigorosamente quello che citi di tuo interesse, ovvero
@otta96 è davvero molto in gamba e nel caso legga penso saprà darti la dimostrazione rigorosa
dimostrare il se e solo se in rosso:
${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$
se e solo se
${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$
L'implicazione verso sinistra non vale perchè c'è troppa poca informazione per valere (la parte di destra non dice nulla su $E'$). L'altra parte è vera e rimando alla discussione di logica alla quale mi metto a rispondere.
Prima di tutto grazie per la risposta
Volevo chiederti cosa intendessi con "L'implicazione verso sinitra non vale perchè c'è troppa poca informazione per valere" cioè come hai fato a dedurlo/capirlo. io sono bloccato e non ho proprio idea di come procedere in questa fase (quindi ti chiedo che processo mentale hai seguito, cosi da poterlo imparare)
Seconda cosa dicevi
Quanto alla discussione cui accenni la cerco subito nella stanza di logica e algebra, che l'ho appena vista.
Ringrazio! E buona serata
Volevo chiederti cosa intendessi con "L'implicazione verso sinitra non vale perchè c'è troppa poca informazione per valere" cioè come hai fato a dedurlo/capirlo. io sono bloccato e non ho proprio idea di come procedere in questa fase (quindi ti chiedo che processo mentale hai seguito, cosi da poterlo imparare)
Seconda cosa dicevi
(la parte di destra non dice nulla su E'). L'altra parte è vera e rimando alla discussione di logica alla quale mi metto a risponderedevi scusarmi tanto perché è colpa mia che sono stupido, ma non ho capito cosa intendi con"la parte di destra non dice nulla su E' ", cioè non ho capito non dicendo nulla che conclusione ne stai dando, e poi cosa intendessi con "altra parte vera" Pesavo infatti l'altra parte fosse <= del "se e solo se" in rosso, però dicendo che non dice nulla su E' non capisco se sai dicendo che non vale.
Quanto alla discussione cui accenni la cerco subito nella stanza di logica e algebra, che l'ho appena vista.
Ringrazio! E buona serata
La parte tra parentesi è una chiarificazione di quello che avevo detto prima, come potrebbe ${$ E chiuso $<=>[forall x (x in E <=>∃x_n : x_n->x])}$ implicare ${[forall x (x in E' <=>∃x_n : x_n->x)] \and$ $[$E chiuso <=>$forallx,(x in E <=> x in E')]}$ se non dice niente su come funziona $E'$? Mentre con l'altra parte intendevo la direzione $=>$.
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