Compatti come unione finita di dischi
Devo mostrare che in uno spazio metrico $(X,d)$ dato un compatto $KsubsetX$ non vuoto e un certo $r>0$ allora $K$ è contenuto in un'unione finita di dischi di raggio $r$ centrati in punti di $K$.
Supponiamo per assurdo che così non sia, ovvero che per ogni successione di dischi centrati in punti di $K$ che abbiano raggio $r$, esso non vi sia contenuto.
porrò $B(x_k,r):=B_k$
poichè $K$ è non vuoto allora sia $x_1 in K$ e sicuramente possiamo trovare $x_2 in KsetminusB_1$
se così non fosse sarebbe contenuto in $B_1$
supponiamo che $x_1,...,x_n$ siano punti di $K$ con la proprietà che $x_k in Ksetminus bigcup_(i=1)^(k-1)B_i$
dove pongo $bigcup_(i=1)^(0)B_i=emptyset$
allora possiamo trovare un certo $x_(n+1) in Ksetminusbigcup_(i=1)^(n)B_i$
sempre perchè altrimenti sarebbe contenuto nell'unione, quindi per induzione possiamo trovare una successione con questa proprietà.
poichè ${x_n}$ è una successione di $K$ che è un compatto allora ammetterà una sottosuccessione convergente in $K$, sia essa ${x_(n_k)}$.
Questo significa che tale successione è di Cauchy per tanto fissato $epsilon=r$ troveremo un indice $s in NN$ per cui
Si può essere, l'ho rimossa in ogni caso. La dimostrazione che "porto nel cuore" è quella che prima fa tutto per \( \mathbb{R} \) e poi sfrutta Tychonoff per \( \mathbb{R}^n \), anche se è un po' come sparare ad una mosca con un Bazooka.
Be' in bocca al lupo per analisi "2" allora! Non avevo mai visto un corso strutturato così! (il Lang è un mattone!)
Supponiamo per assurdo che così non sia, ovvero che per ogni successione di dischi centrati in punti di $K$ che abbiano raggio $r$, esso non vi sia contenuto.
porrò $B(x_k,r):=B_k$
poichè $K$ è non vuoto allora sia $x_1 in K$ e sicuramente possiamo trovare $x_2 in KsetminusB_1$
se così non fosse sarebbe contenuto in $B_1$
supponiamo che $x_1,...,x_n$ siano punti di $K$ con la proprietà che $x_k in Ksetminus bigcup_(i=1)^(k-1)B_i$
dove pongo $bigcup_(i=1)^(0)B_i=emptyset$
allora possiamo trovare un certo $x_(n+1) in Ksetminusbigcup_(i=1)^(n)B_i$
sempre perchè altrimenti sarebbe contenuto nell'unione, quindi per induzione possiamo trovare una successione con questa proprietà.
poichè ${x_n}$ è una successione di $K$ che è un compatto allora ammetterà una sottosuccessione convergente in $K$, sia essa ${x_(n_k)}$.
Questo significa che tale successione è di Cauchy per tanto fissato $epsilon=r$ troveremo un indice $s in NN$ per cui
$k,h>s => d(x_(n_k),x_(n_h))
prendendo $k>h$ si avrà $x_(n_k) in B_(n_h)$ che sarà sicuro un insieme dell'unione considerando che $x_(n_h)$ è un termine della successione. Questo contraddice l'ipotesi che $x_(n_k)$ dovesse appartenere a $K$ ma non all'unione di tutte le pallette 'precedenti'
vi sembra corretta?
prendendo $k>h$ si avrà $x_(n_k) in B_(n_h)$ che sarà sicuro un insieme dell'unione considerando che $x_(n_h)$ è un termine della successione. Questo contraddice l'ipotesi che $x_(n_k)$ dovesse appartenere a $K$ ma non all'unione di tutte le pallette 'precedenti'
vi sembra corretta?
Risposte
Ciao, tu come definizione di compatto usi compatto per successioni immagino, no? Le prossime volte dillo che ho perso 10 minuti a rileggere le prime 2 righe sbottando con "eh ma è ovvio se è compatto!" per poi capire che la tua definizione è quella di compatto per successioni 
Credo che ci sia qualche problema nella negazione della proposizione o meglio quando dici "ogni successione di dischi".
La negazione è che esista un $r>0$ tale che quali e quanti (finiti) siano i punti che scegli appartenenti al compatto, l'unione dei dischi centrati in quei punti di raggio $r$ non contiene il compatto. Quindi non ci sono successioni di dischi a priori.
Comunque a parte questa imprecisione, è perfetta.
(Per tua conoscenza la proprietà che hai dimostrato si chiama totale limitatezza!)
Credo che ci sia qualche problema nella negazione della proposizione o meglio quando dici "ogni successione di dischi".
La negazione è che esista un $r>0$ tale che quali e quanti (finiti) siano i punti che scegli appartenenti al compatto, l'unione dei dischi centrati in quei punti di raggio $r$ non contiene il compatto. Quindi non ci sono successioni di dischi a priori.
Comunque a parte questa imprecisione, è perfetta.
(Per tua conoscenza la proprietà che hai dimostrato si chiama totale limitatezza!)
Scusami hai ragione, ogni volta ometto questo particolare che finisce sempre per creare problemi
E' vero l'ho negata male, ma male male.
Ora mi vado a leggere qualcosa su questa proprietà(che poi l'ho scoperta studiando analisi complessa, cioè da oggi)
Giorno 12 ho analisi 2 e non ho idea di come arrivarci all'esame preparato
E' vero l'ho negata male, ma male male.
Ora mi vado a leggere qualcosa su questa proprietà(che poi l'ho scoperta studiando analisi complessa, cioè da oggi
)Giorno 12 ho analisi 2 e non ho idea di come arrivarci all'esame preparato
No be' ma poi in realtà la negazione l'hai usata nella maniera giusta! Cioè preso $x_1 \in K$ e $B_1$ deve esistere \( x_2 \in K \setminus B_1 \) perché se no $K$ sarebbe contenuto in un'unione finita di dischi cioè quella formata dal solo $B_1$ e così via!
Io questa proprietà l'ho vista in una perversa dimostrazione del teorema di Heine-Borel.
In ogni caso... analisi complessa in analisi 2?
Io questa proprietà l'ho vista in una perversa dimostrazione del teorema di Heine-Borel.
In ogni caso... analisi complessa in analisi 2?
Forse ho capito di quale dimostrazione parli... quella dove fa convergere tutti le componenti estraendo sottosuccessioni a catena tipo.
Si è una cosa che non sopporto nemmeno io.
Abbiamo 12CFU di analisi 2 divisa in funzioni in più variabili, equazioni differenziali e analisi complessa(fatta malissimo, infatti la sto studiando da solo dal Lang).
Si è una cosa che non sopporto nemmeno io.
Abbiamo 12CFU di analisi 2 divisa in funzioni in più variabili, equazioni differenziali e analisi complessa(fatta malissimo, infatti la sto studiando da solo dal Lang).
"anto_zoolander":
Forse ho capito di quale dimostrazione parli... quella dove fa convergere tutti le componenti estraendo sottosuccessioni a catena tipo.
Si può essere, l'ho rimossa in ogni caso. La dimostrazione che "porto nel cuore" è quella che prima fa tutto per \( \mathbb{R} \) e poi sfrutta Tychonoff per \( \mathbb{R}^n \), anche se è un po' come sparare ad una mosca con un Bazooka.
Be' in bocca al lupo per analisi "2" allora! Non avevo mai visto un corso strutturato così! (il Lang è un mattone!)
‘Sparare ad una mosca con un bazooka’
È una delle metafore che preferisco
E poi abbiamo analisi 3 al terzo anno.
Ho solo due settimane per fare analisi 2, non penso di arrivarci, al massimo c’è settembre.
È una delle metafore che preferisco
E poi abbiamo analisi 3 al terzo anno.
Ho solo due settimane per fare analisi 2, non penso di arrivarci, al massimo c’è settembre.
A questo punto sono curioso, com'è organizzata la vostra analisi 3?
Ciao otta.
Abbiamo Misura di Lebesgue e di Hausdorff e cose riguardanti queste ultime due.
Integrazione astratta(?) spazi normati, di Banach e spazi Lp
Abbiamo Misura di Lebesgue e di Hausdorff e cose riguardanti queste ultime due.
Integrazione astratta(?) spazi normati, di Banach e spazi Lp
Se analisi complessa è messa con analisi 2, punto su teoria della misura, integrazione astratta e affini!
EDIT: non avevo visto la risposta, be' ci sono andato vicino!
EDIT: non avevo visto la risposta, be' ci sono andato vicino!
@bremen
sei un veggente sai dirmi se riuscirò a finirla in due settimane? :lol
sei un veggente
sai dirmi se riuscirò a finirla in due settimane? :lol
@anto: mettiti sotto, dimentica questo e altri forum, prenditi il programma e studiatelo giorno e notte. Non divagare, non studiare cose in più. Ce la puoi fare ma ti devi concentrare. Non ti arrendere.
Mi hai convinto.
Ciao! Sono il tuo Tutor AI, il compagno ideale per uno studio interattivo. Utilizzo il metodo maieutico per affinare il tuo ragionamento e la comprensione. Insieme possiamo:
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