Compattezza di uno spazio metrico
Sia $(RR, d)$ uno spazio metrico con $d(x_1 , x_2 ) = |x_1 - x_2|/( 1 + |x_1 - x_2| )$ una funzione distanza.
Voglio far vedere che $(RR, d)$ non è compatto.
Prima di tutto $(RR, d)$ è limitato: infatti è tutto contenuto nella palla aperta $B_d ( 0 , 1)$ di centro $0$ e raggio $1$, poiché $AA x in RR$ , $d(x , 0) = |x|/( 1 + |x| ) < 1$.
Ovviamente qualsiasi successione è limitata dalla palla aperta $B_d ( 0 , 1)$. Il problema è che non riesco a trovare una successione a valori in $RR$ per cui non esista un'estratta convergente ad un punto di $RR$. Qualche consiglio?
Voglio far vedere che $(RR, d)$ non è compatto.
Prima di tutto $(RR, d)$ è limitato: infatti è tutto contenuto nella palla aperta $B_d ( 0 , 1)$ di centro $0$ e raggio $1$, poiché $AA x in RR$ , $d(x , 0) = |x|/( 1 + |x| ) < 1$.
Ovviamente qualsiasi successione è limitata dalla palla aperta $B_d ( 0 , 1)$. Il problema è che non riesco a trovare una successione a valori in $RR$ per cui non esista un'estratta convergente ad un punto di $RR$. Qualche consiglio?
Risposte
Che ne dici di \(x_n=n\)? In alternativa puoi provare a dimostrare che \((\mathbb{R}, d)\) è omeomorfo alla usuale retta reale, che come sappiamo bene non è compatta.
Considero $x_n = n$. $x_n$ non converge a nessun valore dello spazio metrico $(RR,d)$ giacché, $AA a in RR$,
$lim_(n -> oo) d(x_n , a ) = lim_(n -> oo) |n - a|/(1 + |n - a| ) = 1 != 0$.
Quindi $lim_(n -> oo) x_n != a$ , $AA a in RR$.
Poiché $lim_(n -> +oo) d(x_n , 0) = 1$ mi verrebbe da dire che $x_n$ si approssima alla frontiera della palla aperta $B_d (0, 1)$ che contiene tutto lo spazio metrico.
Allora da $x_n = n$ non posso estrarre successioni convergenti ad un punto di $RR$...
Non sono per niente sicuro di quanto ho scritto.
$lim_(n -> oo) d(x_n , a ) = lim_(n -> oo) |n - a|/(1 + |n - a| ) = 1 != 0$.
Quindi $lim_(n -> oo) x_n != a$ , $AA a in RR$.
Poiché $lim_(n -> +oo) d(x_n , 0) = 1$ mi verrebbe da dire che $x_n$ si approssima alla frontiera della palla aperta $B_d (0, 1)$ che contiene tutto lo spazio metrico.
Allora da $x_n = n$ non posso estrarre successioni convergenti ad un punto di $RR$...
Non sono per niente sicuro di quanto ho scritto.
In conclusione: $x_n = n$ è una successione che non converge in $(RR, d)$ e i punti di questa successione si accumulano in prossimità di un punto che non sta nello spazio metrico e che appartiene alla frontiera di $B_d(0,1)$. Quindi, quale che sia l'estratta $x_(n_k)$, i suoi punti si accumuleranno sempre fuori dallo spazio metrico. Questo è sufficientie per concludere la non compattezza?
No, no, lascia stare questa "frontiera della palla unitaria" che ti sta solo portando fuori strada. Invece prendi una generica estratta \(n_k\) e vedi se essa può essere convergente.
La cosa che mi viene in mente è la seguente:
$AA (n_k )_k$ estratta e $AA a in RR$, $lim_(k -> +oo ) d(n_k , a) = 1$.
Infatti, per $k -> +oo$, $k < n_k -> +oo$ .
Quindi $n_k$ non può convergere.
Che ne dici?
Grazie mille delle risposte.
$AA (n_k )_k$ estratta e $AA a in RR$, $lim_(k -> +oo ) d(n_k , a) = 1$.
Infatti, per $k -> +oo$, $k < n_k -> +oo$ .
Quindi $n_k$ non può convergere.
Che ne dici?
Grazie mille delle risposte.
Inoltre ho un altro problema. La completezza dello spazio metrico $(RR, d_2)$ (ove $d_2$ indica la distanza euclidea) si può dimostrare usando il teorema di Weierstrass per successioni (*), cioè: se una successione $x_n$ a valori reali è limitata allora da essa si può estrarre una successione convergente.
Se abbiamo lo spazio metrico $(RR, d)$ ($d$ la distanza definita sopra), per dimostrare la sua completezza non si può ricorrere al teorema di Weierstrass appena citato (*) proprio perché questo teorema non vale.
Un controesempio è la successione $x_n = n$. E' limitata, a valori reali eppure non si può esibire un'estratta convergente.
Poiché il teorema di Weierstrass per successioni è dimostrato in generale per una distanza qualsiasi, mi viene da pensare che il problema stia tutto nel teorema di Bolzano-Weierstrass (per dim. l'esistenza di almeno un punto di accumulazione), il quale potrebbe cessare di valere nel caso in cui la distanza non sia quella euclidea. E' vero questo?
Se abbiamo lo spazio metrico $(RR, d)$ ($d$ la distanza definita sopra), per dimostrare la sua completezza non si può ricorrere al teorema di Weierstrass appena citato (*) proprio perché questo teorema non vale.
Un controesempio è la successione $x_n = n$. E' limitata, a valori reali eppure non si può esibire un'estratta convergente.
Poiché il teorema di Weierstrass per successioni è dimostrato in generale per una distanza qualsiasi, mi viene da pensare che il problema stia tutto nel teorema di Bolzano-Weierstrass (per dim. l'esistenza di almeno un punto di accumulazione), il quale potrebbe cessare di valere nel caso in cui la distanza non sia quella euclidea. E' vero questo?
No, sono tutti e due questi teoremi a fallire con la distanza \(d\). Il problema infatti è che \(d\) non è una "buona" distanza (nel senso dell'analisi funzionale), perché non è invariante per traslazioni, ed ecco perché non ti ritrovi nessun teorema sostanziale sulla struttura metrica di \((\mathbb{R}, d)\). Quello che puoi provare a fare è mostrare che \((\mathbb{R}, d)\) e \((\mathbb{R}, d_2)\) hanno le stesse successioni convergenti e le stesse successioni di Cauchy. Perciò la completezza del primo spazio segue subito dalla completezza del secondo.
"dissonance":
No, sono tutti e due questi teoremi a fallire con la distanza \(d\). Il problema infatti è che \(d\) non è una "buona" distanza (nel senso dell'analisi funzionale), perché non è invariante per traslazioni, ed ecco perché non ti ritrovi nessun teorema sostanziale sulla struttura metrica di \((\mathbb{R}, d)\). Quello che puoi provare a fare è mostrare che \((\mathbb{R}, d)\) e \((\mathbb{R}, d_2)\) hanno le stesse successioni convergenti e le stesse successioni di Cauchy. Perciò la completezza del primo spazio segue subito dalla completezza del secondo.
Più chiaro di così non potevi essere. Grazie!
Ma cos'è effettivamente che fallisce nella dimostrazione del teorema di Bolzano-Weierstrass se considero una distanza $d$ "non buona"? L'inghippo sta nel processo dicotomico?
Mah, in effetti così su due piedi non te lo so dire. Immagino che da qualche parte si usa la struttura di spazio vettoriale di \(\mathbb{R}\), perché in effetti una versione (apparentemente) più generale di Bolzano Weiestrass è la seguente.
Teorema Sia \((V, \lVert \cdot \rVert)\) uno spazio normato di dimensione finita. Allora ogni successione limitata di elementi di \(V\) ha almeno una estratta convergente.
Ti serve quindi la struttura di spazio normato, non basta avere uno spazio metrico. Ora, mentre la distanza usuale su \(\mathbb{R}\) proviene da una norma (il valore assoluto è il primo esempio di norma), la distanza \(d\) di questo post non può certo fare altrettanto. Infatti \((\mathbb{R}, d)\) è uno spazio metrico limitato e nessuno spazio normato è mai limitato: ogni sfera di centro l'origine è sempre strettamente contenuta nella sfera di raggio doppio.
Ricapitolando, la spiegazione che io mi dò del fallimento di Bolzano-Weierstrass in \((\mathbb{R}, d)\) sta nel mancato dialogo tra algebra e struttura metrica, nel senso che la distanza \(d\) non proviene da una norma e quindi non dialoga bene con le operazioni algebriche. Non so se questa spiegazione ti soddisfa.
Teorema Sia \((V, \lVert \cdot \rVert)\) uno spazio normato di dimensione finita. Allora ogni successione limitata di elementi di \(V\) ha almeno una estratta convergente.
Ti serve quindi la struttura di spazio normato, non basta avere uno spazio metrico. Ora, mentre la distanza usuale su \(\mathbb{R}\) proviene da una norma (il valore assoluto è il primo esempio di norma), la distanza \(d\) di questo post non può certo fare altrettanto. Infatti \((\mathbb{R}, d)\) è uno spazio metrico limitato e nessuno spazio normato è mai limitato: ogni sfera di centro l'origine è sempre strettamente contenuta nella sfera di raggio doppio.
Ricapitolando, la spiegazione che io mi dò del fallimento di Bolzano-Weierstrass in \((\mathbb{R}, d)\) sta nel mancato dialogo tra algebra e struttura metrica, nel senso che la distanza \(d\) non proviene da una norma e quindi non dialoga bene con le operazioni algebriche. Non so se questa spiegazione ti soddisfa.
Grazie Dissonance.
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