Compattezza di insiemi definiti implicitamente.

[feddy]

Ciao a tutti,

Vorrei sapere se un mio ragionamento per dimostrare la limitatezza di questo insieme è corretto.

In $RR^2$ ho il seguente insieme definito implicitamente: $ Gamma ={(x,y) in RR^2: x^4+xy^2 + y^4 + 2y^2 − 2 = 0} $
Mi viene richiesto di esprimere l'insieme in coordinate polari e provare che è un compatto.

Per l'espressione in coordinate polari purtroppo non si riesce ad ottenere un'espressione del tipo $rho(theta)$ che mi permette di descrivere l'insieme.

Per dimostrare la compattezza innanzitutto, detta $f(x,y)= x^4+xy^2 + y^4 + 2y^2 − 2$, ho che $Gamma=f^-1({0})$, pertanto è un chiuso poiché controimmagine tramite una funzione continua di un chiuso.

Ora devo dimostrare la limitatezza.

Guardando com'è fatta l'equazione che definisce l'insieme, ho che:

$x^4+y^4+2y^2=2-xy^2$

Poichè il membro di sinistra è una somma di termini positivi, allora il membro di destra deve necessariamente essere positivo:

$2-xy^2>0$

Pertanto ho:

$y^2<2/x$ e $x<2/y^2$, ma allora posso scrivere $0
Per $y=0$ trovo le intersezioni con l'asse $x$, che sono $X_(1,2)=( +-root(4)(2),0 )$

Per $x=0$ analogamente trovo $Y_1,Y_2$ che sono due numeri reali che si trovano risolvendo una biquadratica.

Se avessi dimostrato la limitatezza, per Heine-Borel in $RR^2$ $Gamma$ è chiuso e limitato e quindi compatto.

[dissonance]

Mi piace questa osservazione:

il membro di sinistra è una somma di termini positivi, allora il membro di destra deve necessariamente essere positivo

però purtroppo la tua conclusione non mi convince. Tu hai trovato $0

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[feddy]

ciao e grazie per la risposta, in effetti l'ho chiesto perché anche a me non convinceva molto.

Vediamo se ho capito.
Per $y$ vicine a $0$, la funzione tende al valore $x^4 -2$ e così troverei i punti di intersezione con gli assi che ho scritto prima. Quindi per $y$ che molto vicino a $0$ la funzione è contenuta nell'intervallo $[-(root(4)(2)),+(root(4)(2))]$ e quindi è limitata.
Solo che non saprei che uguaglianze tirare in ballo.

[dissonance]

Se $y$ è piccolo la condizione \(2-xy^2>0\) non ti basta a concludere. Per esempio, considera la curva
\[
x(t)=t^2,\quad y(t)=\frac 1 t,\quad t\to \infty.\]
Questa curva verifica la condizione ma la coordinata \(x\) non è limitata.

Per \(y\) piccole, quindi, ti tocca tornare all'equazione in forma implicita.

[feddy]

Ok.

Quindi, tornando all'equazione di partenza, ho $0<= x^4=2-xy^2-y^4+2y^2$

per $y$ molto piccole in modulo, ho che l'ultima uguaglianza può essere maggiorata: $2-xy^2-y^4+2y^2<2-xy^2<2$, per $|x|>1$

[dissonance]

No. Nessuno impedisce a $x$ di esplodere negativamente, rendendo infinito il termine \(2-xy^2\). Stai usando di nuovo il solo termine \(2-xy^2\), ma come dicevamo sopra, non basta.

[feddy]

Caspita, non so come muovermi allora. Non riesco a capire come maneggiare l'espressione per ottenere una maggiorazione opportuna. Più che altro non capisco come fare per le $y$ molto vicine a $0$.

Altrimenti, passando in coordinate polari ho che il termine dominante, che è $pho^4$, ha il coefficiente che si mantiene lontano da zero. Questo potrebbe bastare in teoria.

[dissonance]

Non posso rispondere dettagliatamente ora, ma guarda l'equazione della curva. Se y è piccolo, diciamo compreso tra $-1$ e $1$, nell'equazione il termine dominante per x grandi è x^4, che non può crescere arbitrariamente, altrimenti tutto il membro sinistro dell'equazione sarebbe strettamente positivo. Questa è l'idea.

[feddy]

Grazie mille, mi è chiaro. In generale, se non si riesce quindi a trovare una scrittura favorevole dell'insieme, è necessario guardare come si comportano le variabili quando entrambe tendono a valori molto grandi?

[dissonance]

Si. Anche le coordinate polari aiutano. Se avessi voluto fare questo discorso in coordinate polari, avresti dovuto distinguere i casi di \(\cos \theta\) prossimo a zero (e quindi \(\sin \theta\) prossimo a uno), \(\sin \theta\) prossimo a zero (e quindi \(\cos \theta\) prossimo a uno) e in generale, quando seno e coseno sono entrambi lontani da zero. Chiaramente, in coordinate polari devi cercare di capire cosa succede quando \(r\to \infty\).

[feddy]

Ok, provo a fare questo ragionamento per il mio caso.

L'espressione dell'insieme in coordinate polari diventa: $Gamma={rho,theta: p^4(sin^4(theta)+cos^4(theta)) + 2p^2sin^2(theta)(1+cos(theta))-2=0: p=>0, theta in [0,2*pi]}$.

Per $cos(theta)->0$, allora $sin(theta)->1$ e ho che $p=+sqrt(2)$.
Per $sin(theta)->0$, allora $cos(theta)->1$ e trovo che $p=sqrt(2)$.

Se $cos(theta)$ e $sin(theta)$ si mantengono distanti da $0$: mi verrebbe da dire che allora il termine dominante e $p^4$, e il suo coefficiente si mantiene lontano da $0$. Pertanto $p$ non può assumere un valore arbitrariamente grande, altrimenti l'espressione non sarebbe più uguale a $0$.

In questo caso, cosa posso dire se $p->+infty$ ? Cioè, se il raggio polare assume valori arbitrariamente grandi, devo sempre considerare il fatto che $p^4$ è il termine dominante?

Grazie mille per la tua pazienza, veramente. E' un argomento che mi sta facendo penare più di quanto credessi.