Compattezza di due insiemi

[nick_10]

Ciao! In alcuni esercizi su massimi e minimi di funzioni in più variabili ho dei problemi nel "visualizzare" l'insieme assegnato(determinare ad esempio compattezza, connessione...).
Ad esempio questi due insiemi(entrambi si riferiscono a problemi del tipo: "determinare inf/sup di una certa f in quell'insieme")
$A=((x,y,z) in RR^3: x^2+y^2+x^2z^2=1, x>=0)$ (qui la relativa f è $f(x,y,z)=x+y-z^2$)
$B=((x,y,z) in RR^3: x^2-y^2+z^2=1, x+z=1, abs(y)<=2)$ ( con $f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$)

La chiusura dei due insiemi è semplice da vedere; il mio problema è la limitatezza
Nel primo ad esempio $(t,sqrt(1-t^2,0))$ dovrebbe appartenere all'insieme da cui la non limitatezza
Nel secondo invece puntavo sulla limitatezza; avevo pensato grazie alla prima equazione e all'ultima che $abs(x)<=sqrt(5), abs(z)<=sqrt(5)$

[Sk_Anonymous]

\(A\) e' ovviamente limitato, hai una somma di quadrati \(=1\), potra' mai qualche coordinata scappare all'infinito? Il tuo controesempio non va bene perche' \( t \in [-1,1]\) necessariamente.

Anche \(B\) mi sembra limitato - scrivi \(z=1-x\) e sostituisci nella prima. Usa poi \( |y|\le 2\).

[anto_zoolander]

ora non vorrei dire fesserie ma forse può sussistere la seguente relazione

siano $(X,d)$ uno spazio metrico e $F={A_i:i in I}$ una famiglia di sottoinsiemi, allora

$exists k in I: existsx_0 in Xexistsr>0(A_ksubsetB(x_0,r)) => bigcap_(i in I)A_i$ è limitato

di fatto se un insieme è limitato $forallx in bigcap_(i in I)A_i => x in A_k => d(x,x_0)
il viceversa in generale non è vero. Basta considerare sul piano l'intersezione ${(x,0)in RR^2:x in RR}cap{(0,y) in RR^2: y in RR}$ chiaramente sono entrambi illimitati pur essendo limitata l'intersezione

quindi se trovi almeno una condizione che limita l'insieme hai finito.

[Sk_Anonymous]

"anto_zoolander":ora non vorrei dire fesserie ma forse può sussistere la seguente relazione

siano $(X,d)$ uno spazio metrico e $F={A_i:i in I}$ una famiglia di sottoinsiemi, allora

$exists k in I: existsx_0 in Xexistsr>0(A_ksubsetB(x_0,r)) => bigcap_(i in I)A_i$ è limitato

di fatto se un insieme è limitato $forallx in bigcap_(i in I)A_i => x in A_k => d(x,x_0)
il viceversa in generale non è vero. Basta considerare sul piano l'intersezione ${(x,0)in RR^2:x in RR}cap{(0,y) in RR^2: y in RR}$ chiaramente sono entrambi illimitati pur essendo limitata l'intersezione

quindi se trovi almeno una condizione che limita l'insieme hai finito.

In pratica stai dicendo che un sottoinsieme di un insieme limitato e' limitato. Ma davvero ?

[anto_zoolander]

Ma magari per altre persone può non essere ovvio

[Sk_Anonymous]

Ma se lo scrivi col linguaggio dei klingon difficilmente risulterà chiaro anche agli altri

[killing_buddha]

"anto_zoolander":$exists k in I: existsx_0 in Xexistsr>0(A_ksubsetB(x_0,r)) => bigcap_(i in I)A_i$ è limitato

Mancano (o sono sbagliati) dei quantificatori, altrimenti scritta così sta roba non significa niente...

[anto_zoolander]

Non trovo sia sbagliato considerando sarebbe equivalente al dire
'se esiste un indice $k in I$ tale che $A_k$ è limitato allora l'intersezione degli insiemi è limitata'