Compattezza degli insiemi di livello

[pmic]

Ciao,
qualcuno può aiutarmi a comprendere questo teorema?

Sia $f: RR^n -> RR $ una funzione continua. Condizione necessaria e sufficiente perchè tutti gli insiemi di livello di f siano compatti è che f sia coerciva, ossia che per ogni successione ${x_k}$ tale che
$ lim_(k -> oo ) ||x_k|| = oo $

risulti
$lim_(k -> oo ) f(x_k) = oo $

Dimostrazione:
Si suppone che tutti gli insiemi di livello siano compatti. Per assurdo si ammette che eisiste una successione ${x_k}$ tale che
$ lim_(k -> oo ) ||x_k|| = oo $

e una $alfa$ tale che per una sottosequenza ${x_k}$ si abbia $f(x_k)<= alfa$. Deve essere allora $ x_k in L(alfa) $ per ogni k.
Ma $L(alfa)$ è compatto, quindi limitato, e ciò contraddice
$ lim_(k -> oo ) ||x_k|| = oo $

....

Da come penso di aver capito una funzione è coerciva se ai suoi estremi tende a +infinito.
Non capisco però cosa voglia dire che $ lim_(k -> oo ) ||x_k|| = oo $ e in particolare la dimostrazione....chi mi aiuta a comprenderla?

Grazie.

[dissonance]

[mod="dissonance"]Sposto nella sezione di Analisi matematica.[/mod]