Compattezza

[anti-spells]

Salve a tutti, volevo proporvi un paio di esercizi che non riesco a finire, il primo:

$H={(x,y)inRR^2 : -1<=x^3+xy+y^3<=1}$ è compatto?

E' banalmente chiuso in quanto anti-immagine di $[-1,1]$ di una funzione continua, ma come faccio a mostrare che non è limitato? Non mi vengono in mente maggiorazioni che possano aiutarmi

Altro esercizio: $K_\alpha = {(x,y) in RR^2 : -1 , per dimostrare che per $|\alpha|>=2$ non è compatto, il prof dice: sia $t in RR$ una soluzione dell'eq. $t^2 + \alpha*t+1=0$ .
Allora i punti $(x,y) in RR^2 $ tali che $x/y = t$ o ($y/x=t$ ), verificano $x^2+\alpha*xy + y^2 = 0$ e quindi sono in $k_\alpha$ che quindi non è limitato.

Ho più o meno capito (a parte il fatto che non mi sarebbe mai venuto in mente di mostrarlo così) , ma ci sono modi più immediati per mostrarlo?

[caulacau]

I polinomi sono mappe proprie, e \(H = p^\leftarrow[-1,1]\) se $p(x,y) = x^3 + xy+y^3$ è guardata come una funzione polinomiale $\mathbb R^2 \to \mathbb R$.

[anti-spells]

Ok mi sembra abbastanza ovvio, ma questo serve per mostrare che H è chiuso, non per mostrare che non è limitato. O sbaglio?

[caulacau]

"anti-spells":Ok mi sembra abbastanza ovvio, ma questo serve per mostrare che H è chiuso, non per mostrare che non è limitato. O sbaglio?

No, ho appunto detto che un polinomio è una mappa propria.

[anti-spells]

Mi dispiace ma il 95% di quello che è scritto su quel link non l'ho mai visto ahah, qualche aiuto in più?

[caulacau]

Ho semplicemente detto che un polinomio, guardato come funzione, ha la proprietà di mandare compatti in compatti mediante controimmagine; non lo sapevi, ora lo sai, usalo.

[dissonance]

E' falso che i polinomi sono tutte mappe proprie; il polinomio \(p(x, y)=xy\) è tale che \(p^{-1}(\{0\})\) non è compatto. Sono mappe proprie i polinomi di una sola variabile.

[dissonance]

"arnett":
Ti è almeno noto e ti è possibile utilizzare il fatto che tutte le norme in $\RR^2$ sono equivalenti?

Ricordo che il professore di analisi sconsigliava questi ragionamenti troppo di alto livello; più è alto il livello degli strumenti usati, più è facile dimenticarli o introdurre errori. Quando possibile, meglio fare le cose con le mani.

@anti-spells:
Come dicevi, tu sai che il tuo insieme è chiuso; ti resta quindi da stabilire se esso sia limitato, o no. Motivato dai suggerimenti precedenti, poni
\[
p(x, y):=x^3+xy+y^3.\]
Devi dimostrare che esiste una costante \(C>0\) tale che, se \(|p(x, y)|\le 1\), allora \(x^2+y^2\le C\). Oppure che tale costante non esiste, e che invece esiste una successione \((x_n, y_n)\) tale che \(|p(x_n, y_n)|\le 1\) e \(x_n^2+y_n^2\to \infty\).

[dissonance]

Non ci riesci? Amplio il suggerimento. L'insieme è compatto, perché vale la disuguaglianza
\[
x^2+y^2\le C|x^3+xy+y^3|, \]
per una costante \(C>0\). (Questa disuguaglianza mostra immediatamente che l'insieme è contenuto in un disco di raggio \(C\)).

Per dimostrare questa disuguaglianza, considera il rapporto
\[
\frac{x^2+y^2}{x^3+xy+y^3}, \]
e dimostra che è una funzione limitata.

[anti-spells]

Scusami adesso ci provo, l'esame era stamattina e per fortuna non ha messo un esercizio così (ne ha messo uno sulla completezza di uno SM che era difficile comunque ahah, anzi volevo aprire un topic per discutere proprio di quell'esercizio) . Comunque appena riesco provo a mettermici sotto

[vict85]

Al di là della teoria, la curva definita dall'equazione \( x^3 + xy + y^3 = 0 \) è limitata?

[dissonance]

Adesso mi hai fatto venire il dubbio, vict. Sopra ho suggerito che tutte le curve \(x^3+xy+y^3=\lambda\), con \(\lambda\in [-1, 1]\), sono limitate. Ho detto una cavolata? Può essere, eh.

[jinsang]

Chiamiamo $f(x,y)=x^3+xy+y^3$

Vale
\(limsup_{||(x,y)||\rightarrow +\infty}f(x,y)=+\infty\) (si vede ad esempio con $f(t,0)$ per $t->+oo$)
\(liminf_{||(x,y)||\rightarrow +\infty}f(x,y)=-\infty\) (si vede ad esempio con $f(t,0)$ per $t->-oo$)
Quindi
$AA R>0$ trovo una curva $\gamma:[0,1]->RR^2$ che "sta tutta fuori" da $B(0,R)$ (palla centrata in 0 raggio R) tale che
$f(\gamma(0))<0$
$f(\gamma(1))>0$
Essendo continua $f(\gamma(t))$ si annulla lungo la curva, quindi per ogni palla ho uno zero al di fuori di essa, quindi il luogo di zeri di $f$ non è finito.
Questo criterio si generalizza (per vedere se il luogo di zeri è finito guardo sempre il segno di liminf e limsup)
Sto sbagliando?

Domanda Bonus:

Come si fa a fare il limsup in modo che il pedice venga effettivamente sotto?

[dissonance]

È giusto, jinsang. Non c'è bisogno di introdurre curve che "stanno tutte fuori", queste locuzioni informali sono un po' imprecise, io direi piuttosto che, per ogni R>0, si può applicare il teorema degli zeri in R^2 privato della palla di raggio R, ottenendo che esiste almeno un punto su cui il polinomio si annulla. Quindi, l'insieme degli zeri non è limitato, perché non è contenuto in nessuna palla.

Chiedo scusa per avere dato un suggerimento fuorviante nel mio post precedente.

[anti-spells]

Grazie a tutti, scusate se non rispondo ma adesso mi sto focalizzando su altri corsi e non ho proprio tempo per provare a fare questi esercizi