Compattamente incluso?
Sono di nuovo in difficoltà...
Qual'è la traduzione italiana di "compactly embedded"? (intendo come dicono i matematici italiani?)
e scusate se non ho capito, ma gli americani fanno differenza tra included e embedded?
Ma comunque, cosa più importante, dove posso guardare per capire un pò meglio questo concetto?
P.S. si parla di $X$ e $Y$ spazi di banach, e $X$ è compattamente incluso(?) in $Y$ se:
-$X\sub\subY$ (ovvero esiste un compatto $K$ tc $X\subK\subY$)
-$\forall \ x\inX\ \ \ \ ||x||_Y\leC||x||_X$ per qualche costante $C$
-ogni sequenza limitata in $X$ è precompatta in $Y$
(che vuol dire sequenza precompatta?)
Qual'è la traduzione italiana di "compactly embedded"? (intendo come dicono i matematici italiani?)
e scusate se non ho capito, ma gli americani fanno differenza tra included e embedded?
Ma comunque, cosa più importante, dove posso guardare per capire un pò meglio questo concetto?
P.S. si parla di $X$ e $Y$ spazi di banach, e $X$ è compattamente incluso(?) in $Y$ se:
-$X\sub\subY$ (ovvero esiste un compatto $K$ tc $X\subK\subY$)
-$\forall \ x\inX\ \ \ \ ||x||_Y\leC||x||_X$ per qualche costante $C$
-ogni sequenza limitata in $X$ è precompatta in $Y$
(che vuol dire sequenza precompatta?)
Risposte
Giusto per aggiungere qualcosa di inutile (bastava il post di Mathematico)... 
Da quel poco che ne so immersione (embedding) e inclusione (inclusion) non sono proprio la stessa cosa, nel senso che il primo conserva anche la struttura degli spazi in esame
http://en.wikipedia.org/wiki/Embedding
http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion_map
Da quel poco che ne so immersione (embedding) e inclusione (inclusion) non sono proprio la stessa cosa, nel senso che il primo conserva anche la struttura degli spazi in esame
http://en.wikipedia.org/wiki/Embedding
http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion_map
Grazie delle dritte.
Quindi il mio libro dice che $X$ è immerso compattamente in $Y$ se:
-$X⊂Y$
-$∀ x∈X\ \ \ \ ||x||_Y≤C||x||_X$ per qualche costante $C$
-ogni sequenza limitata in $X$ è precompatta in $Y$
Aaaahh, ma al punto 2 cripticamente il mio libro sta richiedendo che le due norme siano equivalenti, e quindi che le due risultanti topologie lo siano...
soltanto, come mai lo può dire?
2 norme $||.||_X,||.||_Y$ sono equivalenti se $\exists C_1,C_2$ tc $C_1*||x||_X\le||x||_Y\leC_2*||x||_X$
ma li il mio libro richiede una disuguaglianza sola... mmh forse non ho capito
Punto 3:
No, ma il mio libro dice che ogni SEQUENZA limitata in $X$ è precompatta in $Y$
e mi chiedevo cos'è una sequenza precompatta...
Quindi il mio libro dice che $X$ è immerso compattamente in $Y$ se:
-$X⊂Y$
-$∀ x∈X\ \ \ \ ||x||_Y≤C||x||_X$ per qualche costante $C$
-ogni sequenza limitata in $X$ è precompatta in $Y$
Aaaahh, ma al punto 2 cripticamente il mio libro sta richiedendo che le due norme siano equivalenti, e quindi che le due risultanti topologie lo siano...
soltanto, come mai lo può dire?
2 norme $||.||_X,||.||_Y$ sono equivalenti se $\exists C_1,C_2$ tc $C_1*||x||_X\le||x||_Y\leC_2*||x||_X$
ma li il mio libro richiede una disuguaglianza sola... mmh forse non ho capito
Punto 3:
"amel":
Avrai già capito che precompatto significa con chiusura compatta, è un sinonimo di relativamente compatto.
No, ma il mio libro dice che ogni SEQUENZA limitata in $X$ è precompatta in $Y$
e mi chiedevo cos'è una sequenza precompatta...
Ti chiedo scusa, sto dormendo, sono stato veramente trooooppo precipitoso 
.
Vediamo wikipedia in inglese che è meglio.
http://en.wikipedia.org/wiki/Compactly_embedded
Quando si parla di "precompatto", nel nostro caso si parla di "totalmente limitato". Tuttavia, nel caso degli spazi metrici completi (quindi anche degli spazi di Banach), "totalmente limitato" e "relativamente compatto" sono equivalenti. In ogni caso, a noi interessa il concetto di totalmente limitato.
Allora ricapitolando:
$X$, $Y$ spazi di Banach, $X$ è compattamente immerso in $Y$ se:
1. $X \sube Y$ (cioè $X$ è incluso in $Y$);
2. $\forall x \in X$, esiste una costante $C>0$ tale che $||x||_Y <= C ||x||_X$;
[1 e 2 indicano che $X$ è immerso continuamente in $Y$, cioè che $i:X->Y, i(x)=x$ è iniettiva (punto 1) ed è una funzione continua (punto 2) ; come dice anche wikipedia, in un qualche senso le norme sono "quasi equivalenti", anche se non sono definite nello stesso spazio]
3. ogni sottoinsieme limitato in $X$ è totalmente limitato (precompatto) in $Y$, cioè ogni successione in tale insieme limitato ha una sottosuccessione di Cauchy nella norma $||.||_Y$; equivalentemente, ogni successione limitata in $X$ ha una sottosuccessione di Cauchy nella norma $||.||_Y$ (ovvero è precompatta in $Y$ (*) ).
(*) non sono sicuro al 100%, ma mi sembra la cosa più logica.
Vabbè secondo post inutile. Meglio che chiuda qui.
Ciao.
.Vediamo wikipedia in inglese che è meglio.
http://en.wikipedia.org/wiki/Compactly_embedded
Quando si parla di "precompatto", nel nostro caso si parla di "totalmente limitato". Tuttavia, nel caso degli spazi metrici completi (quindi anche degli spazi di Banach), "totalmente limitato" e "relativamente compatto" sono equivalenti. In ogni caso, a noi interessa il concetto di totalmente limitato.
Allora ricapitolando:
$X$, $Y$ spazi di Banach, $X$ è compattamente immerso in $Y$ se:
1. $X \sube Y$ (cioè $X$ è incluso in $Y$);
2. $\forall x \in X$, esiste una costante $C>0$ tale che $||x||_Y <= C ||x||_X$;
[1 e 2 indicano che $X$ è immerso continuamente in $Y$, cioè che $i:X->Y, i(x)=x$ è iniettiva (punto 1) ed è una funzione continua (punto 2) ; come dice anche wikipedia, in un qualche senso le norme sono "quasi equivalenti", anche se non sono definite nello stesso spazio]
3. ogni sottoinsieme limitato in $X$ è totalmente limitato (precompatto) in $Y$, cioè ogni successione in tale insieme limitato ha una sottosuccessione di Cauchy nella norma $||.||_Y$; equivalentemente, ogni successione limitata in $X$ ha una sottosuccessione di Cauchy nella norma $||.||_Y$ (ovvero è precompatta in $Y$ (*) ).
(*) non sono sicuro al 100%, ma mi sembra la cosa più logica.
Vabbè secondo post inutile. Meglio che chiuda qui.
Ciao.
No no, anzi grazie per le risposte!
è questo quasi equivalenti che non capisco che relazione comporti tra le topologie...
[Edit]giusto, che scemo, significa che se prendiamo due basi per le topologie in $X$ e $Y$ (le palle da adesso in poi fanno parte delle basi) $\forallx\inX \ \ \ \forall B_1$ palla centrata in $x$ nello spazio metrico $X\ \ \ \exists B_2$ palla centrata in $x$ nello spazio metrico $Y$ tc $B_2\subB_1$ e quindi la topologia di $Y$ include quella di $X$, no?
Ma adesso la domanda è: a che ci serve? Stiamo dicendo che la topologia di $X$ è meno fine di quella di $Y$ e allora?[\Edit]
ok, qui ci posso stare. Deve essere così, perchè ho trovato definizioni che trattano solo insiemi... bene
Ma scusate, libri su questa roba non ci sono? Wikipedia è un pò sintetica. Sto brancolando nel buio non saprei dove cercare...
[Edit] direi che se la mia affermazione sopra è giusta non ne ho più bisogno, grazie![\Edit]
"amel":
2. $\forall x \in X$, esiste una costante $C>0$ tale che $||x||_Y <= C ||x||_X$;
[1 e 2 indicano che $X$ è immerso continuamente in $Y$, cioè che $i:X->Y, i(x)=x$ è iniettiva (punto 1) ed è una funzione continua (punto 2) ; come dice anche wikipedia, in un qualche senso le norme sono "quasi equivalenti", anche se non sono definite nello stesso spazio]
è questo quasi equivalenti che non capisco che relazione comporti tra le topologie...
[Edit]giusto, che scemo, significa che se prendiamo due basi per le topologie in $X$ e $Y$ (le palle da adesso in poi fanno parte delle basi) $\forallx\inX \ \ \ \forall B_1$ palla centrata in $x$ nello spazio metrico $X\ \ \ \exists B_2$ palla centrata in $x$ nello spazio metrico $Y$ tc $B_2\subB_1$ e quindi la topologia di $Y$ include quella di $X$, no?
Ma adesso la domanda è: a che ci serve? Stiamo dicendo che la topologia di $X$ è meno fine di quella di $Y$ e allora?[\Edit]
"amel":
3. ogni sottoinsieme limitato in $X$ è totalmente limitato (precompatto) in $Y$, cioè ogni successione in tale insieme limitato ha una sottosuccessione di Cauchy nella norma $||.||_Y$; equivalentemente, ogni successione limitata in $X$ ha una sottosuccessione di Cauchy nella norma $||.||_Y$ (ovvero è precompatta in $Y$ (*) ).
ok, qui ci posso stare. Deve essere così, perchè ho trovato definizioni che trattano solo insiemi... bene
Ma scusate, libri su questa roba non ci sono? Wikipedia è un pò sintetica. Sto brancolando nel buio non saprei dove cercare...
[Edit] direi che se la mia affermazione sopra è giusta non ne ho più bisogno, grazie![\Edit]
Per l'analisi funzionale io consulto sempre le dispense di Gilardi: http://www-dimat.unipv.it/gilardi/WEBGG ... nz0910.pdf
grazie dissonance, mi sembrano molto ben fatte, magari avessi tempo per leggerle tutte approfonditamente... Sicuramente un giorno lo farò, Intanto comunque mi sono chiarito alcuni dubbi principali.
E in particolare sento di aver compreso a sufficienza il concetto di immersione continua!
Ma quindi scusami, dire che $\forall x\inX$ esiste una costante $C>0$ tale che $||x||_Y≤C||x||_X$
equivale ad affermare che l'applicazione identità $I:X->Y$ è limitata
ora, ovviamente l'applicazione identità è anche biettiva su $X$ (che è incluso in $Y$), quindi è invertibile e c'è un teorema (in realtà mi pare di ricordare che è un corollario) che ci dice che le applicazioni lineari limitate biettive hanno inversa limitata. Cioè è limitata $ I: (X,||.||_Y)->(X,||.||_X)$.
Perciò posso dire che l'immersione continua implica l'equivalenza delle norme giusto? (Il viceversa, l'equivalenza delle norme implica l'immersione continua, mi pare ovvio)
E in particolare sento di aver compreso a sufficienza il concetto di immersione continua!
Ma quindi scusami, dire che $\forall x\inX$ esiste una costante $C>0$ tale che $||x||_Y≤C||x||_X$
equivale ad affermare che l'applicazione identità $I:X->Y$ è limitata
ora, ovviamente l'applicazione identità è anche biettiva su $X$ (che è incluso in $Y$), quindi è invertibile e c'è un teorema (in realtà mi pare di ricordare che è un corollario) che ci dice che le applicazioni lineari limitate biettive hanno inversa limitata. Cioè è limitata $ I: (X,||.||_Y)->(X,||.||_X)$.
Perciò posso dire che l'immersione continua implica l'equivalenza delle norme giusto? (Il viceversa, l'equivalenza delle norme implica l'immersione continua, mi pare ovvio)
"Fox":
No no, anzi grazie per le risposte!
[quote="amel"]
2. $\forall x \in X$, esiste una costante $C>0$ tale che $||x||_Y <= C ||x||_X$;
[1 e 2 indicano che $X$ è immerso continuamente in $Y$, cioè che $i:X->Y, i(x)=x$ è iniettiva (punto 1) ed è una funzione continua (punto 2) ; come dice anche wikipedia, in un qualche senso le norme sono "quasi equivalenti", anche se non sono definite nello stesso spazio]
è questo quasi equivalenti che non capisco che relazione comporti tra le topologie...
[Edit]giusto, che scemo, significa che se prendiamo due basi per le topologie in $X$ e $Y$ (le palle da adesso in poi fanno parte delle basi) $\forallx\inX \ \ \ \forall B_1$ palla centrata in $x$ nello spazio metrico $X\ \ \ \exists B_2$ palla centrata in $x$ nello spazio metrico $Y$ tc $B_2\subB_1$ e quindi la topologia di $Y$ include quella di $X$, no?
Ma adesso la domanda è: a che ci serve? Stiamo dicendo che la topologia di $X$ è meno fine di quella di $Y$ e allora?[\Edit][/quote]
Come "allora"?
Se hai un'immersione compatta $i:X\to Y$ tra due spazi di Banach, essa è un operatore compatto, ossia trasforma insiemi limitati di $X$ in insiemi totalmente limitati e (a norma del teorema di Hausdorff) a chiusura sequenzialmente compatta di $Y$; in tal modo, quando assegni una successione $(x_n)\subseteq X$ limitata in $||\cdot ||_X$, dalla successione $(i(x_n)) \subseteq Y$ puoi estrarre qualche sottosuccessione di Cauchy in $||\cdot||_Y$. Questa è una cosa mica da ridere, soprattutto se lo spazio $Y$ è completo!
Le immersioni compatte sono molto utili per ricavare informazioni in più sugli elementi dello spazio $X$: infatti il più delle volte gli elementi di $X$ hanno delle "proprietà nascoste" che, se riguardati come elementi di un secondo spazio $Y$ un po' più grande, diventano più "evidenti".
Per stabilire queste proprietà molte volte si passa per procedimenti di limite, perchè molti spazi "astratti" dell'Analisi Funzionale sono completamenti di spazi "concreti"; quindi in questi procedimenti è normale avere a che fare con successioni di funzioni limitate in $X$ le quali, mediante l'immersione compatta $i$, si trasformano in successioni di Cauchy, e quindi convergenti, di $Y$.
Esempio: Prendiamo la disuguaglianza di tipo Sobolev $||u||_oo <= 1/2*||u'||_1$ valida per $u\in W^(1,1)(RR)$.
Visto che $||u||_(1,1)=||u||_1+||u'||_1$, la precedente ti dice che $||u||_oo<=||u||_(1,1)$, cosicché l'immersione $W^(1,1)\to L^oo$ è compatta.
N.B.: $W^(1,1)$ ed $L^oo$ sono totalmente distinti come spazi (nel senso che, matematicamente, contengono oggetti diversi, cioè classi d'equivalenza rispetto a diverse realzioni d'equivalenza); quindi quando scrivi "$X\subseteq Y$" nella definizione d'immersione compatta, devi sempre pensare che non stai scrivendo una relazione insiemistica, ma stai abbreviando la proposizione "esiste un'applicazione ineittiva di $X$ in $Y$".
Ora, prendiamo una successione $(u_n) \in W^(1,1)$ limitata in norma $||\cdot||_(1,1)$: per quanto detto, in virtù della compattezza dell'inclusione, da $(u_n)$ si può estrarre una successione di Cauchy in $L^oo$ ripetto a $||\cdot||_oo$, ossia una successione convergente uniformemente q.o. in $RR$.
Se scegliamo, ad esempio, $(u_n) \subseteq C_c^1(RR)$ limitata in $||\cdot ||_(1,1)$ (cosa che si può fare, perchè $C_c^1(RR) \subseteq W^(1,1)(RR)$), per quanto detto possiamo estrarre da $(u_n)$ una successione di Cauchy in $L^oo$; ma l'essere di Cauchy in $L^oo$ equivalente alla convergenza uniforme per le funzioni continue, cosicché possiamo dire che è possibile estrarre da $(u_n)$ una successione uniformemente convergente in $RR$ verso una funzione continua $v$; inoltre la $v$ è infinitesima all'infinito, ossia si ha $v\in C_0(RR)$, poiché $C_0(RR)$ è il completamento di $C_c(RR)$ rispetto alla convergenza uniforme.
Vediamo cosa possiamo farcene, in concreto, di questa cosa...
Sappiamo che $C_c^1(RR)$ è denso in $W^(1,1)(RR)$ (in quanto lo spazio di Sobolev è il completamento di $C_c^1(RR)$ rispetto alla norma $||\cdot ||_(1,1)$), quindi ogni "funzione" $u\in W^(1,1)(RR)$ può essere pensata come limite in norma $||\cdot||_(1,1)$ di una successione $(u_n)\subseteq C_c^1(RR)$. Ora, se $(u_n)$ converge in $||\cdot ||_(1,1)$ allora $(u_n)$ converge in $L^1$ verso $u$ (per l'ovvia maggiorazione $||u_n-u||_1<=||u_n-u||_(1,1)$) ed inoltre, per quanto visto sopra, è possibile estrarre da $(u_n)$ una sottosuccessione, che indico con $(u_k)$, convergente in $C_0$ uniformemente verso una funzione $v\in C_0$; quindi hai:
$\{(u_k\to u, " in " L^1(RR)),(u_k\to v, " in " C_0(RR)):}$
e per noti fatti di Teoria della Misura, hai $u=v$ q.o. epperò $u=v$ in $RR$ visto che $v$ è continua (per funzioni continue, l'uguaglianza q.o. è equivalente all'uguaglianza ovunque).
Con l'aiuto dell'immersione compatta abbiamo quindi stabilito che ogni $u in W^(1,1)$ è, in effetti, una funzione continua ed infinitesima all'infinito.
Interessante, no?
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