Comparazione della monotonia

[Hunho]

salve a tutti, vorrei capire come fare per scoprire attraverso la comparazione della monotonia;

a) l'invertibilita' di una funzione
b) i punti di massimo/minimo assoluti/relativi

la funzione poniamo che sia $f(x)=x^5-2$

[gac1]

La domanda non è molto chiara, comunque, se interpreto correttamente:
a) una funzione strettamente monotona è iniettiva
b) se una funzione è monotona crescente in [a,b] e monotona decrescente in [b,c], con a
La funzione da te proposta è strettamente monotona su tutto $RR$, e ha per immagine tutto $RR$.
Di conseguenza è biiettiva.

[Hunho]

per determinarne l'invertibilita', basta dimostrare che $x_1
per i punti di massimo/minimo, qual è il procedimento per costruire la tabellina con i segni per determinare quando la funzione cresce/decresce?

[gac1]

Dipende da quello che sai.
Se hai già studiato il calcolo differenziale, dovresti sapere che una funzione derivabile $f:I\to RR$, $I\subset RR$ intervallo, è monotona crescente se e solo se $f'(x)\geq 0$ per ogni $x\in I$. (Per funzione monotona crescente intendo che $f(x_1) \leq f(x_2)$ per ogni $x_1,x_2\in I$, con $x_1 Analogo risultato vale per la caratterizzazione delle funzioni monotone decrescenti.
E' chiaro quindi che puoi individuare in quali intervalli la funzione è crescente o decrescente andando a studiare il segno della sua derivata.

Se non sai il calcolo differenziale, la monotonia va studiata "a mano".
Per quanto riguarda il tuo esempio, per dimostrare che $f(x) = x^5-2$ è strettamente monotona crescente basta dimostrare che la funzione $g(x) = x^5$ è strettamente monotona crescente.
Poiché $g$ è dispari, basta dimostrare che è strettamente monotona crescente in $[0,+\infty)$.
A questo punto, la cosa migliore è dimostrare per induzione che tutte le potenze $x^n$, con $n$ naturale, sono strettamente monotone crescenti in $[0,+\infty)$.
Questo è evidente dalla definizione quando $n=1$. Non dovrebbe essere difficile passare dal passo $n$ al passo $n+1$...