Come trovare massimi e minimi assoluti per una funzione a due variabili su dominii chiusi e limitati
Buonasera a tutti, come da titolo ho dei dubbi sulla ricerca di massimi e minimi assoluti su due variabili, in quanto non riesco a trovare un procedimento soddisfacente nella risoluzione del problema.
Il mio libro di testo di analisi 2 trova i punti assoluti analizzando direttamente la frontiera, anche perchè visto l'esercizio in esempio non vedo effettivamente un altro modo per farlo.
considerando f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y vincolata da {x>=0, y>=0, x+y<=4} effettivamente l'unico punto che si trova annullando il gradiente è il punto (1,1) interno al domnio, mentre disegnando il trinangolo del dominio e applicandoci le restrizioni vengono trovati anche i punti (0,4) e (4,0) ed è proprio questo che non riesco a capire, come fa a tirare fuori questi punti.
ad infittire il mio dubbio poi ci pensa il celebre ingegner Cerrone, che nello svolgimento di
questo ( https://www.youtube.com/watch?v=EQELoO28ezw ) esercizio trova i punti nell'annullamento del gradiente,
(min 10) parametrizza i segmenti che compongono la frontiera (perchè???)
e successivamente ne verifica la natura.
Qual'è dunque un buon procedimento per affrontare questa tipologia di esercizio e dove bisogna cercare i potenziali punti di massimo e minimo?
Grazie davvero in anticipo a chi proverà ad aiutarmi, so di essere piuttosto confuso ma non so più dove sbattere la testa.
Tommaso
Il mio libro di testo di analisi 2 trova i punti assoluti analizzando direttamente la frontiera, anche perchè visto l'esercizio in esempio non vedo effettivamente un altro modo per farlo.
considerando f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y vincolata da {x>=0, y>=0, x+y<=4} effettivamente l'unico punto che si trova annullando il gradiente è il punto (1,1) interno al domnio, mentre disegnando il trinangolo del dominio e applicandoci le restrizioni vengono trovati anche i punti (0,4) e (4,0) ed è proprio questo che non riesco a capire, come fa a tirare fuori questi punti.
ad infittire il mio dubbio poi ci pensa il celebre ingegner Cerrone, che nello svolgimento di
questo ( https://www.youtube.com/watch?v=EQELoO28ezw ) esercizio trova i punti nell'annullamento del gradiente,
(min 10) parametrizza i segmenti che compongono la frontiera (perchè???)
e successivamente ne verifica la natura.
Qual'è dunque un buon procedimento per affrontare questa tipologia di esercizio e dove bisogna cercare i potenziali punti di massimo e minimo?
Grazie davvero in anticipo a chi proverà ad aiutarmi, so di essere piuttosto confuso ma non so più dove sbattere la testa.
Tommaso
Risposte
Per prima cosa lascia perdere l'ingegner Cerrone e i video su YouTube. Usa SOLO libri o al massimo dispense, ma solo se provenienti dal tuo corso oppure da fonti super-verificate (università conosciute o ricercatori di fama).
Prova a ragionarci un po'. Hai un dominio chiuso $Omega$ con frontiera $partial Omega$, Come sai nel piano la frontiera di un dominio chiuso è una curva chiusa (possibilmente regolare a tratti) poniamo, quindi $partial Omega=gamma(t)$ (supponendo che tu riesca a trovare una parametrizzazione della curva stessa, ma in questi esercizi è sempre possibile, se no dovresti ricorrere al metodo dei moltiplicatori di lagrange).
Dove si possono trovare gli estremi di una funzione continua $f:Omega->RR$? La risposta è:
Dentro al dominio oppure sulla frontiera
Dentro al dominio quali sono i possibili candidati ad essere punti estremanti?
Sulla frontiera invece cosa devi fare?
Dove si possono trovare gli estremi di una funzione continua $f:Omega->RR$? La risposta è:
Dentro al dominio oppure sulla frontiera
Dentro al dominio quali sono i possibili candidati ad essere punti estremanti?
Sulla frontiera invece cosa devi fare?
Grazie Vulplasir, ho risolto i miei dubbi!
capisco ciò che vuoi dire, ma a seguire il tuo consiglio alla lettera bisognerebbe diffidare anche da forum come questo!
"dissonance":
Per prima cosa lascia perdere l'ingegner Cerrone e i video su YouTube. Usa SOLO libri o al massimo dispense, ma solo se provenienti dal tuo corso oppure da fonti super-verificate (università conosciute o ricercatori di fama).
capisco ciò che vuoi dire, ma a seguire il tuo consiglio alla lettera bisognerebbe diffidare anche da forum come questo!
Si puo' farlo anche con Karush-Kuhn-Tucker
Il metodo di kuhn-tucker è una generalizzazione di quello di Lagrange...in esercizi come questo è una perdita di tempo (oltre ad essere un metodo algoritmico e quindi poco utile didatticamente)
"Vulplasir":
[...] quindi poco utile didatticamente)
Vero forse in questo caso specifico, falso in generale; sono casi giocattolo in cui si ha un'intuizione (anche geometrica) di quello che succede, visto che il problema della programmazione convessa finito-dimensionale e' una semplice applicazione di un teorema molto piu' generale (che si formula in spazi di Banach riflessivi).
"ballardinitommaso":
capisco ciò che vuoi dire, ma a seguire il tuo consiglio alla lettera bisognerebbe diffidare anche da forum come questo!
Buona osservazione.
E in effetti ci sono dei forum da cui è meglio stare alla larga. Non è il caso di questo qui.
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
che differenza c'è nell'usare i moltiplicatori di lagrange o parametrizzare la frontiera? ci sono casi in cui non si possono usare i moltiplicatori di lagrange?
I moltiplicatori di Lagrange sono un metodo universale se sono rispettate le ipotesi del metodo stesso.
Sono due metodi diversi, i moltiplicatori sono un metodo algoritmico che richiede solo di rislvere un sistema...parametrizzare la frontiera richiede di parametrizza la frontiera...se hai un vincolo del tipo $ln(xy)-xcosyx^3=0$ ti sfido a parametrizzarla...
che differenza c'è nell'usare i moltiplicatori di lagrange o parametrizzare la frontiera?
Sono due metodi diversi, i moltiplicatori sono un metodo algoritmico che richiede solo di rislvere un sistema...parametrizzare la frontiera richiede di parametrizza la frontiera...se hai un vincolo del tipo $ln(xy)-xcosyx^3=0$ ti sfido a parametrizzarla...
chiaro, grazie mille
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