Come trattare le quantità limitate nelle serie
Sono tutte serie da dire se convergono o meno. Specie con seno e coseno, non sono come fare "passaggi corretti", mi spiego:
Ho, ad esempio, $frac{sin n}{log^2(1+3^{n-1})}$. Trovo che è asintotico a $frac{sin n}{(n-1)^2*log^2 3}$. la mia idea è che il numeratore sia una quantità limitata e che, dato che $\sum 1/(n^2)$ converge, converge anche la serie iniziale... Come fare a dirlo/scriverlo matematicamente? Non cerco dimostrazioni o simili, solo qualcosa da scrivere in un ipotetico esame per giustificare il ragionamento...
Stessa cosa vale per questa: $frac{n*cos n}{(n^5+3)^(1/2)}$.... io direi che dato che il coseno è limitato, essa si comporta come $n/(n^(5/2))=frac{1}{n^(3/2)}$ che converge... Stesso problema: come scriverlo? Non posso scrivere tutto questo ragionamento a parole, mi serve essere estremamente sintetico in poco spazio...
Ps: il tutto sempre se non sto sbagliando ragionamento, che non si sa mai...
Ho, ad esempio, $frac{sin n}{log^2(1+3^{n-1})}$. Trovo che è asintotico a $frac{sin n}{(n-1)^2*log^2 3}$. la mia idea è che il numeratore sia una quantità limitata e che, dato che $\sum 1/(n^2)$ converge, converge anche la serie iniziale... Come fare a dirlo/scriverlo matematicamente? Non cerco dimostrazioni o simili, solo qualcosa da scrivere in un ipotetico esame per giustificare il ragionamento...
Stessa cosa vale per questa: $frac{n*cos n}{(n^5+3)^(1/2)}$.... io direi che dato che il coseno è limitato, essa si comporta come $n/(n^(5/2))=frac{1}{n^(3/2)}$ che converge... Stesso problema: come scriverlo? Non posso scrivere tutto questo ragionamento a parole, mi serve essere estremamente sintetico in poco spazio...
Ps: il tutto sempre se non sto sbagliando ragionamento, che non si sa mai...
Risposte
Usa il criterio del confronto.
Nel primo caso, ad esempio, hai che
\[
\left|\frac{\sin n}{\log^2 (1+ 3^{n-1})}\right| \leq \frac{1}{\log^2 (1+ 3^{n-1})}\,.
\]
Se converge la serie a secondo membro, per il criterio del confronto converge anche la serie a primo membro, dunque converge assolutamente la serie di partenza.
Nel primo caso, ad esempio, hai che
\[
\left|\frac{\sin n}{\log^2 (1+ 3^{n-1})}\right| \leq \frac{1}{\log^2 (1+ 3^{n-1})}\,.
\]
Se converge la serie a secondo membro, per il criterio del confronto converge anche la serie a primo membro, dunque converge assolutamente la serie di partenza.
Ok... Grazie mille! 
Non ci avevo pensato... :ciao:
Non ci avevo pensato... :ciao:
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