Come studiare la convergenza di una serie di funzioni

[Michele Di Guida]

Salve ragazzi, ho dei dubbi su questi esercizi, ve ne posto uno e mentre provo a svolgerlo vi mostro le mie perplessità
L'esercizio mi chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di funzioni
$ sum_(n=1)^(+oo)n^(x)x^n $
Osservo che $ lim_(n->+oo) n^(x)x^(n)=0 $ se $ -1<=x<1 $
Quindi per la convergenza puntuale applico il criterio del rapporto:
$ lim_(n->+oo)((n+1)/n)^(x)x=x $
la serie quindi converge sicuramente nell'intervallo [-1,1) (in x=-1 ottengo $ sum_(n=1)^(+oo) 1/n(-1^n) $ che per Leibnitz converge.
Ora ho problemi a determinare l'intervallo di convergenza uniforme. Devo sfruttare il fatto che la convergenza totale implica la convergenza uniforme, per cui basta trovare una $ M_n $ tale che $ |f_n(x)|<=M_n $ per ogni n appartenente all'insieme dei numeri naturali e per cui $ sum_(n=1)^(+oo)M_n<+oo $
Ma come si procede praticamente? Devo trovare il sup di |n^x(x^n)|? Come si calcola?

[luc.mm]

Usando il teorema di Weierstrass:

Per calcolarti l'estremo superiore sai che la funzione è continua e limitata per ogni $ n $ nel tuo intervallo per cui o è ai bordi oppure è in corrispondenza dei punti di estremo (massimi o minimi).

$ f_n(-1)=(-1)^n/n $ che tende a zero con $ n $

$ lim_(x->1)f_n(x)=n $ osservi quindi che con questo criterio non puoi avere convergenza uniforme nell'intervallo aperto.

Scegli un intervallo del tipo $ [-1,r] $ con $ r<1 $ quindi $ f_n(r)=n^rr^n $ che tende a zero con $ n $ ora calcola i punti di estremo.

Se non sbaglio la derivata per $ n>=2 $ è $ n^x(logn*x^n+nx^(n-1))=n^x x^(n-1)(logn*x+n) $ che si annulla in
$ x=0, x=-n/logn $ il secondo punto esce definitivamente dal tuo intervallo.

$ f_n(0)=0$ quindi ti rimangono solo i bordi e purtroppo scopri che definitivamente $ n^rr^n $ per $ r>0 $ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto $ 1/n $ e che quindi l'estremo superiore di $ |f_n(x)| $ è proprio $ 1/n $

Quindi restringi l'intervallo a $ [-r,r] $ e osservi che questa volta hai ai bordi:

$ lim_(n -> +infty) (n^r|r|^n)/(n^-r|r|^n)=+infty $

Per cui l'estremo superiore in questo caso è definitivamente la funzione valutata nel bordo di destra che tende a zero con $ n $ più lentamente del bordo di sinistra.

Ora considera $ sumn^rr^n $ col criterio del rapporto ti accorgi che ottieni $ r<1 $ come limite e quindi la serie data converge. Concludi che hai convergenza uniforme in $ [-r,r] $ con $ 0

Cita

Segnala