Come studiare la continuità di una funzione
Ciao a tutti..
sto studiando la continuità, e ho alcuni problemi..
Allora.. le definizioni di continuità le ho capite, il problema è questo..
Solitamente analizzo innanzitutto il dominio della funzione, e quindi mi chiedo: se ci sono dei punti che devono essere esclusi dal dominio, in quel punto posso dire che la funzione non è continua, e valutare anche i limiti in quel punto.
Ad es. se ho una funz. $ f(x)=1/(x-3) $ e quindi il dominio è $ x != 3 $ posso dire che in 3 la funzione non è continua perchè il lim in 3 va a infinito?
Poi.. se ho invece una funzione continua in un intervallo ad es. $ f(x)= sqrt(-x^2+1)$ ho che il dominio è $ -1<=x <= 1 $ . Poichè non ho punti che mi danno problemi nell'intervallo, posso dire che la funzione è continua in quell'intervallo?
E se invece avessi $ f(x)= sqrt(x^2-1)$ poichè il dominio è $ x<=-1 x>= 1 $ posso dire già che la funzione non è continua perchè già nel dominio ho praticamente dei "salti" ?
Al di là che devo valutare i limiti in tutti questi punti posso dire queste cose già solo guardando il dominio?
Vi prego.. aiutatemi a capire.. ho dei forti dubbi...
sto studiando la continuità, e ho alcuni problemi..
Allora.. le definizioni di continuità le ho capite, il problema è questo..
Solitamente analizzo innanzitutto il dominio della funzione, e quindi mi chiedo: se ci sono dei punti che devono essere esclusi dal dominio, in quel punto posso dire che la funzione non è continua, e valutare anche i limiti in quel punto.
Ad es. se ho una funz. $ f(x)=1/(x-3) $ e quindi il dominio è $ x != 3 $ posso dire che in 3 la funzione non è continua perchè il lim in 3 va a infinito?
Poi.. se ho invece una funzione continua in un intervallo ad es. $ f(x)= sqrt(-x^2+1)$ ho che il dominio è $ -1<=x <= 1 $ . Poichè non ho punti che mi danno problemi nell'intervallo, posso dire che la funzione è continua in quell'intervallo?
E se invece avessi $ f(x)= sqrt(x^2-1)$ poichè il dominio è $ x<=-1 x>= 1 $ posso dire già che la funzione non è continua perchè già nel dominio ho praticamente dei "salti" ?
Al di là che devo valutare i limiti in tutti questi punti posso dire queste cose già solo guardando il dominio?
Vi prego.. aiutatemi a capire.. ho dei forti dubbi...
Risposte
Per la prima funzione, cioè $f(x)=1/(x-3)$, come hai detto anche tu $D=(-oo,3) uu (3,+oo)$. Ora dal dominio puoi dire direttamente che la funzione è discontinua per $x=3$, in quanto (def. di continuità in un punto) $lim_(x->3)f(x)!=f(3)$.
Per la seconda funzione, $f(x)=sqrt(-x^2+1)$, il cui dominio è $[-1,1]$, a mio parere puoi dire direttamente che la funzione è continua in quell'intervallo, proprio per definizione di dominio (o insieme di definizione, prova a leggere qui)
Stesso discorso vale per la terza funzione. Quando tu studi il dominio della funzione, vai a studiare proprio gli intervalli in cui la funzione è definita. Che intendi per salti!?
Per la seconda funzione, $f(x)=sqrt(-x^2+1)$, il cui dominio è $[-1,1]$, a mio parere puoi dire direttamente che la funzione è continua in quell'intervallo, proprio per definizione di dominio (o insieme di definizione, prova a leggere qui)
Stesso discorso vale per la terza funzione. Quando tu studi il dominio della funzione, vai a studiare proprio gli intervalli in cui la funzione è definita. Che intendi per salti!?
Innanzitutto grazie per la risposta.
Per "salti " intendevo intervalli o punti in cui la funzione non è definita.
Ora mi chiedo.. ma allora per valutare la continuità di una funzione mi basta vederlo già dal dominio? Poi sono sicura che la funzione nel dominio è continua?
So che il problema essenziale ce l'ho quando la funzione è a tratti, quindi in quel caso devo vedere cosa succede nei valori "critici".
Ma quando ho una funzione non a tratti, dal dominio già riesco a capire la continuità?
Spero di essermi spiegata.. grazie mille..
Per "salti " intendevo intervalli o punti in cui la funzione non è definita.
Ora mi chiedo.. ma allora per valutare la continuità di una funzione mi basta vederlo già dal dominio? Poi sono sicura che la funzione nel dominio è continua?
So che il problema essenziale ce l'ho quando la funzione è a tratti, quindi in quel caso devo vedere cosa succede nei valori "critici".
Ma quando ho una funzione non a tratti, dal dominio già riesco a capire la continuità?
Spero di essermi spiegata.. grazie mille..
Ad esempio, mi trovo a studiare questa funzione:
$log x / (sqrt(x-1))$.
Ora.. il mio dominio è $x >0, sqrt(x-1) !=0 => x !=1, e x>1 $, in conclusione il dominio è $x>1$ .
Posso quindi dire che la funzione è continua in ]1, inf[
e ha un punto di discontinuità in x=1 perchè il lim a 1 della funzione è infinito? (è infinito, giusto? :S )
$log x / (sqrt(x-1))$.
Ora.. il mio dominio è $x >0, sqrt(x-1) !=0 => x !=1, e x>1 $, in conclusione il dominio è $x>1$ .
Posso quindi dire che la funzione è continua in ]1, inf[
e ha un punto di discontinuità in x=1 perchè il lim a 1 della funzione è infinito? (è infinito, giusto? :S )
Se hai letto il documento che ti ho linkato nel mio post precedente dovresti aver capito che lo studio del dominio è fatto apposta per capire qual è l'insieme in cui la funzione è definita, cioè dove la funzione è continua. Quindi una volta trovato puoi dire che la funzione è continua in quell'intervallo.
Per quanto riguarda, invece, lo studio del limite della funzione in un suo punto di discontinuità, non è sempre detto che faccia $oo$, ci sono casi e casi, la cosa importante è che:
Se $c$ è un punto di discontinuità, allora $lim_(x->c)f(x)!=f(c)$
Per quanto riguarda, invece, lo studio del limite della funzione in un suo punto di discontinuità, non è sempre detto che faccia $oo$, ci sono casi e casi, la cosa importante è che:
Se $c$ è un punto di discontinuità, allora $lim_(x->c)f(x)!=f(c)$
"dustofstar":Di solito sì ma non è assolutamente garantito. Esistono funzioni definite su tutto $RR$ e discontinue in tutti i punti del loro dominio, come ad esempio
Ora mi chiedo.. ma allora per valutare la continuità di una funzione mi basta vederlo già dal dominio? Poi sono sicura che la funzione nel dominio è continua?
$f(x)={(1, x \in QQ), (0, x \notin QQ):}$
Inoltre c'è da chiarirsi su cosa si possa dire riguardo la continuità quando una funzione non è definita in un punto. Lorin, due post fa, dice che $1/(x-3)$ è discontinua per $x=3$. E' una cosa che si usa moltissimo dire e va bene, ma sappiamo che è un abuso di linguaggio: se una funzione non è definita in un punto, non ha proprio senso parlare di alcuna proprietà puntuale di quella funzione in quel punto, quindi in particolare non ha senso dire che essa è discontinua. [edit] eliminato esempio fuorviante. [/edit]
Questo invece:
lo studio del dominio è fatto apposta per capire qual è l'insieme in cui la funzione è definita, cioè dove la funzione è continua.è proprio un errore, tipico della scuola secondaria. La $f(x)$ di sopra è un classico controesempio.
Mi permetto di dissentire con Dissonance nell'esempio del logaritmo, perché $-1$ non è di accumulazione per il dominio di $log x$, mentre $3$ lo è per il dominio di $1/(x-3)$, in pratica mi pare che l'esempio non sia calzante con quello che voleva dire.
Seguo subito il tuo consiglio ed elimino l'esempio. Non vorrei confondere le idee con quel fatto secondario quando c'è da capire la questione molto più importante delle funzioni definite in un punto ma non continue. Anzi, per spostare definitivamente l'attenzione su questo propongo uno spunto di riflessione:
considerare la funzione $H(x)={(1, x>0), (1/2, x=0), (0, x<0):}$ (detta [url=http://it.wikipedia.org/wiki/File:Dirac_distribution_CDF.png]gradino di Heaviside[/url]). In quali punti essa è definita? E in quali è continua?
considerare la funzione $H(x)={(1, x>0), (1/2, x=0), (0, x<0):}$ (detta [url=http://it.wikipedia.org/wiki/File:Dirac_distribution_CDF.png]gradino di Heaviside[/url]). In quali punti essa è definita? E in quali è continua?
Scusate se mi intrometto, peraltro per dire un certo numero di ovvietà.
A quanto ho capito dissonance sta cercando (correttamente) di sottolineare il fatto che una funzione può tranquillamente essere discontinua anche in un punto interno al suo dominio.
@melia sottolinea (correttamente) il fatto che spesso sono i punti di accumulazione del dominio, ma che non stanno nel dominio stesso, a creare problemi agli studenti.
Mi permetto, ad uso di dustofar, di riassumere qui alcune questioni:
1) di continuità (o discontinuità) si può parlare solo nei punti in cui la funzione è definita; nel punto $x=3$ dell'esempio iniziale non ha quindi senso né parlare di continuità né di discontinuità (con buona pace di quanti affermano il contrario: è vero che ognuno può definire le cose come gli pare più opportuno, ma c'è anche un limite alla decenza);
2) le funzioni elementari (che si ottengono per somma, prodotto, composizione, inversione delle funzioni di base, ossia polinomi, funzioni trigonometriche, esponenziali) sono tutte continue nei loro domini naturali.
I dubbi, negli studenti, spesso nascono dal fatto che, in qualche modo, assumono per osmosi che 2) sia vera, ma non hanno chiaro il punto 1): quindi i punti di accumulazione del dominio che non stiano nel dominio stesso diventano problematici.
Qui non sto dicendo che uno non debba studiare cosa avviene in un intorno di questi punti (anzi, è quello che di norma si fa andando a calcolare i limiti per vedere se ci sono asintoti verticali o quant'altro); sto solo dicendo che in quei punti non ci si deve preoccupare della continuità.
Naturalmente, quando la funzione non è elementare (come negli esempi fatti da dissonance), lo studio della continuità va in generale fatto in ogni punto del dominio.
A quanto ho capito dissonance sta cercando (correttamente) di sottolineare il fatto che una funzione può tranquillamente essere discontinua anche in un punto interno al suo dominio.
@melia sottolinea (correttamente) il fatto che spesso sono i punti di accumulazione del dominio, ma che non stanno nel dominio stesso, a creare problemi agli studenti.
Mi permetto, ad uso di dustofar, di riassumere qui alcune questioni:
1) di continuità (o discontinuità) si può parlare solo nei punti in cui la funzione è definita; nel punto $x=3$ dell'esempio iniziale non ha quindi senso né parlare di continuità né di discontinuità (con buona pace di quanti affermano il contrario: è vero che ognuno può definire le cose come gli pare più opportuno, ma c'è anche un limite alla decenza);
2) le funzioni elementari (che si ottengono per somma, prodotto, composizione, inversione delle funzioni di base, ossia polinomi, funzioni trigonometriche, esponenziali) sono tutte continue nei loro domini naturali.
I dubbi, negli studenti, spesso nascono dal fatto che, in qualche modo, assumono per osmosi che 2) sia vera, ma non hanno chiaro il punto 1): quindi i punti di accumulazione del dominio che non stiano nel dominio stesso diventano problematici.
Qui non sto dicendo che uno non debba studiare cosa avviene in un intorno di questi punti (anzi, è quello che di norma si fa andando a calcolare i limiti per vedere se ci sono asintoti verticali o quant'altro); sto solo dicendo che in quei punti non ci si deve preoccupare della continuità.
Naturalmente, quando la funzione non è elementare (come negli esempi fatti da dissonance), lo studio della continuità va in generale fatto in ogni punto del dominio.
Ringrazio Dissonance per avermi corretto.
Ringrazio Rigel per aver riassunto tutto il concetto.
Grazie a voi oggi ho appreso qualcosa di nuovo e che davo per scontato.
A tal punto avrei una cosa da chiedere: mi potreste fornire un esempio di funzione in cui un punto di accumulazione non si trova nel dominio (riprendo proprio il concetto espresso nel punto 1) da Rigel)?
Ringrazio Rigel per aver riassunto tutto il concetto.
Grazie a voi oggi ho appreso qualcosa di nuovo e che davo per scontato.
A tal punto avrei una cosa da chiedere: mi potreste fornire un esempio di funzione in cui un punto di accumulazione non si trova nel dominio (riprendo proprio il concetto espresso nel punto 1) da Rigel)?
"Lorin":
A tal punto avrei una cosa da chiedere: mi potreste fornire un esempio di funzione in cui un punto di accumulazione non si trova nel dominio (riprendo proprio il concetto espresso nel punto 1) da Rigel)?
$0$ per $logx$ o per $1/x$ se le consideri con il loro massimo dominio possibile.
In tutti quei casi in cui una funzione non è definita in un punto e ti viene da "andare a vedere il limite" della funzione in quel punto, lo puoi fare perchè sono punti accumulazione per il dominio della funzione.
Capito. Grazie
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