Come studiare convergenza serie al variare di un parametro

[kiblast]

Salve a tutti e buona domenica, sto cercando qualcuno che mi faccia capire come studiare una serie al variare di un parametro alfa.
Premettendo che me la cavo con lo studio di serie non troppo complicata , ho un esercizio di questo tipo

$sum_(n = 1)^(+oo) n^2(sen(1/n^alpha)-1/(n^\alpha-1))$

Un procedimento generale mi va bene...

EDIT: mi sono dimenticato di dirvi che non so dove mettere le mani, altrimenti un mezzo procedimento lo avrei postato...scusate, ma la mia proff ha spegato le serie gli ultimi 2 giorni, nei quali per mia fortuna ero malato...xd

EDIT^2: ho guardato qua http://www.matematicamente.it/forum/serie-convergente-al-variare-del-parametro-t55469-10.html
http://www.matematicamente.it/forum/aiutino-serie-numerica-t78643.html?highlight=serie%20variare%20parametro
http://www.matematicamente.it/forum/risoluzione-dettagliata-serie-con-parametro-t61300-20.html?highlight=serie%20variare%20parametro <- sto cominciando a capire.

[Seneca1]

"kiblast":$sum_(n = 1)^(+oo) n^2(sen(1/n^\a)-1/(n^\a-1))$

Non hai proprio idee?

[kiblast]

Se non sbaglio $sen (1/n)$ dovrebbe divergere invece $1/(n+1)$ è maggiore delle serie armonica di indice 1 quindi diverge anche lei...oltre a questo non so cosa ricavare...

[ciampax]

Io separerei i casi in cui [tex]$\alpha\ge 0$[/tex] e [tex]$\alpha<0$[/tex] e ragionerei per confronto della serie data con qualcosa di noto.

P.S. Ma il secondo termine è [tex]$\frac{1}{n^\alpha-1}$[/tex] o [tex]$\frac{1}{n^{\alpha-1}}$[/tex]? Perché nel primo caso la serie non è definita bene!

[kiblast]

"ciampax":P.S. Ma il secondo termine è [tex]$\frac{1}{n^\alpha-1}$[/tex] o [tex]$\frac{1}{n^{\alpha-1}}$[/tex]? Perché nel primo caso la serie non è definita bene!

Si il secondo termine è $1/(n^\alpha-1)$

Comunque come dovrei lavorare separando i due casi? Io quando vedo i parametri sono sempre portato a sostituire con dei valori noti il che lo so è sbagliato ma non so andare avanti.
Ragionando posso pensare che se considero $\alpha>0$ la serie rimane invariata invece se considero $\alpha<=0$ nella serie devo mettere $-\alpha$. ma ho bisogno comunque di conoscere il procedimento adatto.

Provando.

Con $a>=0$ secondo me la serie è a termini negativi perchè $sen1/n^a < 1/(n^a-1)$ ??? (se dico castronerie non mi trucidate )
se $a <0$ la serie è a termini positivi
Ora il seno è asintotico a 1/n quindi se $a=-1$ abbiamo differenza di 2 serie divergenti e quindi la serie diverge
se $a<-1$ penso diverga sempre.

Ps: sono convito che al 110 % che è tutto sbagliato. Sono in crisi Xd

[ciampax]

Se [tex]$\alpha>0$[/tex] allora [tex]$\sin\frac{1}{n^\alpha}\sim\frac{1}{n^\alpha}$[/tex], pertanto il termine generale si comporta come

[tex]$n^2\left(\frac{1}{n^\alpha}-\frac{1}{n^\alpha-1}\right)\sim -\frac{n^2}{n^{2\alpha}}=-\frac{1}{n^{2\alpha-2}}$[/tex]

Segno a parte, l'ultima cosa scritta sarebbe il termine generale di una serie armonica generalizzata, la quale converge per gli esponenti maggiori di $1$: pertanto [tex]$2\alpha-2>1\ \Rightarrow\ \alpha>\frac{3}{2}$[/tex]

Se invece [tex]$\alpha=0$[/tex] allora il termine generale diventa [tex]$n^2(\sin(1)-1)$[/tex] e in questo caso la serie diverge (si comporta come [tex]$n^2$[/tex]).

Infine, se [tex]$\alpha<0$[/tex] poniamo [tex]$\beta=-\alpha>0$[/tex] per cui il termine generale diventa

[tex]$n^2\left(\sin(n^\beta)-\frac{n^\beta}{1-n^\beta}\right)$[/tex].

Dal momento che la funzione seno è limitata si ha

[tex]$\lim_{n\to+\infty}n^2\left(\sin(n^\beta)-\frac{n^\beta}{1-n^\beta}\right)=\lim_{n\to+\infty} n^2\cdot (\sin(n^\beta)+1)=+\infty$[/tex]

pertanto, non essendo infinitesimo il termine generale, la serie non converge (in particolare diverge positivamente, dal momento che il termine generale è definitivamente positivo).

[kiblast]

quindi generalmente quindi mi riduco a studiare il termine generale presupponendo il parametro maggire minore e uguale a zero.

Una domanda :

"ciampax": [tex]$\lim_{n\to+\infty}n^2\left(\sin(n^\beta)-\frac{n^\beta}{1-n^\beta}\right)=\lim_{n\to+\infty} n^2\cdot (\sin(n^\beta)-1)=-\infty$[/tex]

Perche hai messo $n^\beta$ al numeratore al posto di 1?

Comunque vediamo se ho fatto bene:

$sum_(1)^(+00)((an+2)/(3n+1))^(n+1)$ con $a in ]0,+oo[ $

Uso il criterio della radice con $ root(n+1)(sum) $

ora per a > 0 il termine generale è positivo quindi per il criterio della radice ho $lim_(nto+00) (an+2)/(3n+1) = a/3$

ora per $a/3 >1 $ diverge per a >3

per $a/3<1 $ converge per 0
per a = 3 la serie è indeterminata
Giusto?

[ciampax]

Ho corretto sopra, e non ho messo niente al posto di altro, ho semplicemente scritto

[tex]$\frac{1}{\frac{1}{n^\beta}-1}}=\frac{n^\beta}{1-n^\beta}$[/tex]

Per l'altra hai proceduto bene per i casi $a>3,\ 0

Cita

Segnala

[kiblast]

Per a = 3 sostituisco e ho $((3n+2)/(3n+1))^(n+1)$ e ho $(1)^(n+1)$ non converge ma diverge e divergente positivamente, giusto?

[ciampax]

Non proprio: il termine generale in tal caso diventa

[tex]$a_n=\left(\frac{3n+2}{3n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{3n+1}\right)^{n+1}$[/tex]

per cui la serie non converge... ma perché? (suggerimento: calcola [tex]$\lim_{n\to+\infty}a_n$[/tex]).