Come stimare la somma di una serie
Vorrei poter stimare la successione $a_m=sum_{n=0}^infty(n^m)/(e^(deltan))$, con $delta>0$. Che strumenti ho a mia disposizione? L'unica cosa che mi è venuta in mente è di trovare una funzione dipendente dal parametro $m$ in modo tale che $(n^m)/(e^(deltan))=int_n^(n+1)f_m(t)"dt"$, così che $a_m=sum_{n=0}^inftyint_n^(n+1)f_m(t)"dt"=int_0^(infty)f_m(t)"dt"$. Naturalmente nella speranza che l'integrale si possa calcolare più facilmente...
Ma mi sembra troppo macchinoso. Posso fare di meglio? Probabilmente integrando per parti si riesce a calcolare $int_0^infty(t^m)/(e^(deltat))"dt"$. Può servire?
Ma mi sembra troppo macchinoso. Posso fare di meglio? Probabilmente integrando per parti si riesce a calcolare $int_0^infty(t^m)/(e^(deltat))"dt"$. Può servire?
Risposte
Qui c'è qualcosa di molto banale che però non so e che temo mi attirerà addosso un altro shampoo, se Fioravante Patrone passa di qua... 
Perché il punto è questo: io avrei bisogno di dire che $a_m=O((m!)/r^m)$ per qualche $r>0$. Guarda caso, se calcolo l'integrale $int_0^infty(t^m)/(e^(deltat))"dt"$ viene fuori proprio $(m!)/(delta^(m+1))$. Rimane da dimostrare che $a_m$ e la successione degli integrali $b_m=int_0^infty(t^m)/(e^(deltat))"dt"$ sono dello stesso ordine di grandezza.
E questo è il "criterio di confronto con integrale"... Però lì mi pare servisse che $(t^m)/(e^(deltat))$ fosse decrescente. Posso farne a meno?
Perché il punto è questo: io avrei bisogno di dire che $a_m=O((m!)/r^m)$ per qualche $r>0$. Guarda caso, se calcolo l'integrale $int_0^infty(t^m)/(e^(deltat))"dt"$ viene fuori proprio $(m!)/(delta^(m+1))$. Rimane da dimostrare che $a_m$ e la successione degli integrali $b_m=int_0^infty(t^m)/(e^(deltat))"dt"$ sono dello stesso ordine di grandezza.
E questo è il "criterio di confronto con integrale"... Però lì mi pare servisse che $(t^m)/(e^(deltat))$ fosse decrescente. Posso farne a meno?
Probabilmente il criterio funziona anche se la funzione integranda è definitivamente decrescente... Insomma dovresti vedere se è possibile modificare la dimostrazione del "criterio di confronto integrale" inserendo la nuova ipotesi.
P.S.: Evidentemente $("d")/("d"t)[t^m/e^(delta t)]=t^(m-1)/e^(delta t)*(m-delta t)<0$ se e solo se $t>m/delta$, quindi la tua integranda è definitivamente decrescente per ogni fissato $m$.
P.S.: Evidentemente $("d")/("d"t)[t^m/e^(delta t)]=t^(m-1)/e^(delta t)*(m-delta t)<0$ se e solo se $t>m/delta$, quindi la tua integranda è definitivamente decrescente per ogni fissato $m$.
Ti ringrazio!
Per essere sincero stavo pensando ad un "teorema":
Sia $f_m:[0, infty)\to[0, infty)$ una successione di funzioni continue e tali che tutti gli integrali $int_0^inftyf_m(t)"dt"$ sono convergenti. Allora, detta $S_m=sum_{n=0}^inftyf_m(n)$ e $I_m=int_0^inftyf_m(t)"dt"$, risulta che le due successioni sono equivalenti al limite per $m\toinfty$.
Pensavo che fosse vero e ovvio, ma mi è venuto in mente che mi sbagliavo: una funzione come questa:
è continua, si può integrare e l'integrale risulta convergente (sotto opportune ipotesi) ma se sommiamo i valori che assume nei numeri interi otteniamo certamente $+infty$. Lo scrivo sul forum, magari può servire a qualcuno.
Va bene. Quindi alla luce del tuo post, posso dire che una ricettina facile non c'è. Nel nostro caso, vediamo che la somma della serie a partire da un $n$ sufficientemente grande è certamente $<=$ dell'integrale con un punto iniziale sufficientemente grande. Il resto (la somma degli altri $n$ e l'integrale da $0$ al punto iniziale) invece verifica una disuguaglianza opposta. Ma è un problema che credo di avere risolto: basta aggiungere $max(t^m)/(e^(deltat))$ all'integrale per renderlo più grande della somma. A occhio mi pare che si ottenga una stima sufficiente. Comunque la cosa importante è che io abbia capito almeno che cosa fare.
Per essere sincero stavo pensando ad un "teorema":
Sia $f_m:[0, infty)\to[0, infty)$ una successione di funzioni continue e tali che tutti gli integrali $int_0^inftyf_m(t)"dt"$ sono convergenti. Allora, detta $S_m=sum_{n=0}^inftyf_m(n)$ e $I_m=int_0^inftyf_m(t)"dt"$, risulta che le due successioni sono equivalenti al limite per $m\toinfty$.
Pensavo che fosse vero e ovvio, ma mi è venuto in mente che mi sbagliavo: una funzione come questa:
è continua, si può integrare e l'integrale risulta convergente (sotto opportune ipotesi) ma se sommiamo i valori che assume nei numeri interi otteniamo certamente $+infty$. Lo scrivo sul forum, magari può servire a qualcuno.
Va bene. Quindi alla luce del tuo post, posso dire che una ricettina facile non c'è. Nel nostro caso, vediamo che la somma della serie a partire da un $n$ sufficientemente grande è certamente $<=$ dell'integrale con un punto iniziale sufficientemente grande. Il resto (la somma degli altri $n$ e l'integrale da $0$ al punto iniziale) invece verifica una disuguaglianza opposta. Ma è un problema che credo di avere risolto: basta aggiungere $max(t^m)/(e^(deltat))$ all'integrale per renderlo più grande della somma. A occhio mi pare che si ottenga una stima sufficiente. Comunque la cosa importante è che io abbia capito almeno che cosa fare.
Mi pare che, se $f(x)\geq 0$ (e forse anche se cambia segno, purche' vada a zero all'infinito) sia vero che
$\sum_{n=0}^\infty f(n)=\int_{0}^\infty f([x]) dx$
dove $[x]$ e' la parte intera di $x$. Quindi se $f$ e' decrescente, essendo $x-1<[x]\leq x$, si ottiene
$\int_{0}^\infty f(x-1) dx\leq\sum_{n=0}^\infty f(n)\leq\int_{0}^\infty f(x) dx$
da cui il solito criterio. Pero' anche se $f$ non e' decrescente, si puo' ottenere qualcosa di utile.
Nel tuo caso, sempre usando la disuguaglianza per la parte intera, io avrei detto che
$\int_0^\infty\frac{(x-1)^m}{e^{\delta x}} dx \leq \sum_{n=0}^\infty \frac{n^m}{e^{\delta n}} \leq\int_0^\infty\frac{x^m}{e^{\delta(x-1)}} dx$
che dovrebbe darti una buona stima.
$\sum_{n=0}^\infty f(n)=\int_{0}^\infty f([x]) dx$
dove $[x]$ e' la parte intera di $x$. Quindi se $f$ e' decrescente, essendo $x-1<[x]\leq x$, si ottiene
$\int_{0}^\infty f(x-1) dx\leq\sum_{n=0}^\infty f(n)\leq\int_{0}^\infty f(x) dx$
da cui il solito criterio. Pero' anche se $f$ non e' decrescente, si puo' ottenere qualcosa di utile.
Nel tuo caso, sempre usando la disuguaglianza per la parte intera, io avrei detto che
$\int_0^\infty\frac{(x-1)^m}{e^{\delta x}} dx \leq \sum_{n=0}^\infty \frac{n^m}{e^{\delta n}} \leq\int_0^\infty\frac{x^m}{e^{\delta(x-1)}} dx$
che dovrebbe darti una buona stima.
@V.G.: Poiché non so più come ringraziarti a parole mie, lo faccio con una citazione:
(La frase l'ho pescata su un libro di geometria risalente alla scuola superiore. Un certo Misser Bernardino ringrazia così Tartaglia che gli ha dimostrato un teorema sui triangoli.)
Questa vostra conclusione molto mi piace et ve ne ringratio assai.
(La frase l'ho pescata su un libro di geometria risalente alla scuola superiore. Un certo Misser Bernardino ringrazia così Tartaglia che gli ha dimostrato un teorema sui triangoli.)
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