Come stabilire se una curva è semplice
Ciao ragazzi. Avrei un problema, in pratica non ho ben capito come vedere se una curva è semplice. La definizione la conosco solo che ho difficoltà a mettere in pratica il tutto. Come esempio propongo l'esercizio che ho da studiare:
$ gamma (t)=(t^3,t^2) $ con $ tin [0,1] $ .Vedendo le soluzioni dell'esercizio mi dice che la curva è semplice poichè le funzioni $ t^3 $ e $ t^2 $ sono iniettive nell'intervallo [0,1].Quindi le mie domande sono:
1) per vedere se una curva è semplice basta semplicemente vedere se le funzioni sono iniettive?
2) come faccio a vedere in modo analitico che le funzioni sono iniettive in un dato intervallo? Ad esempio, come faccio a vedere che $ t^3 $ e $ t^2 $ sono iniettive nell'intervallo [0,1]?
$ gamma (t)=(t^3,t^2) $ con $ tin [0,1] $ .Vedendo le soluzioni dell'esercizio mi dice che la curva è semplice poichè le funzioni $ t^3 $ e $ t^2 $ sono iniettive nell'intervallo [0,1].Quindi le mie domande sono:
1) per vedere se una curva è semplice basta semplicemente vedere se le funzioni sono iniettive?
2) come faccio a vedere in modo analitico che le funzioni sono iniettive in un dato intervallo? Ad esempio, come faccio a vedere che $ t^3 $ e $ t^2 $ sono iniettive nell'intervallo [0,1]?
Risposte
1) la condizione di iniettività è sufficiente ma non necessaria
2) una funzione f(x) è iniettiva in un intervallo [a,b] se,e solo se,per ogni k del codominio,l'equazione f(x)=k ha un'unica soluzione
2) una funzione f(x) è iniettiva in un intervallo [a,b] se,e solo se,per ogni k del codominio,l'equazione f(x)=k ha un'unica soluzione
"raf85":
1) la condizione di iniettività è sufficiente ma non necessaria
2) una funzione f(x) è iniettiva in un intervallo [a,b] se,e solo se,per ogni k del codominio,l'equazione f(x)=k ha un'unica soluzione
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. Avrei però ancora qualcosa da chiarire. Dato che la condizione di iniettività è sufficiente ma non necessaria come posso fare per stabilire se la curva è semplice? Inoltre non ho ben capito il punto 2. Potresti rispiegarmi meglio tutto, magari facendo anche riferimento all'esercizio da me postato? Grazie ancora e scusa se sto approfittando della tua disponibilità.
scusa per il ritardo della risposta,ma ero assente giustificato 
1) in generale,bisogna usare la definizione,che hai detto di conoscere, e di solito è abbastanza facile applicarla agli esercizi
2) diamo un definizione forse più semplice :
f(x) è iniettiva in un intervallo [a,b] se
$x_1 != x_2 rArr f(x_1) !=f(x_2) $ $ AA x_1,x_2 in [a,b]$
sia $t^2$ che $t^3$ non assumono mai lo stesso valore nell'intervallo dato
1) in generale,bisogna usare la definizione,che hai detto di conoscere, e di solito è abbastanza facile applicarla agli esercizi
2) diamo un definizione forse più semplice :
f(x) è iniettiva in un intervallo [a,b] se
$x_1 != x_2 rArr f(x_1) !=f(x_2) $ $ AA x_1,x_2 in [a,b]$
sia $t^2$ che $t^3$ non assumono mai lo stesso valore nell'intervallo dato
"raf85":
scusa per il ritardo della risposta,ma ero assente giustificato
1) in generale,bisogna usare la definizione,che hai detto di conoscere, e di solito è abbastanza facile applicarla agli esercizi
2) diamo un definizione forse più semplice :
f(x) è iniettiva in un intervallo [a,b] se
$x_1 != x_2 rArr f(x_1) !=f(x_2) $ $ AA x_1,x_2 in [a,b]$
sia $t^2$ che $t^3$ non assumono mai lo stesso valore nell'intervallo dato
la definizione a livello teorico la conosco e dice che sia data una curva $ gamma (t) $ con $ tin [a,b] $ questa si dice semplice se comunque presi due valori distinti $ t_{1} $ e $ t_{2} $ $ in [a,b] $ che non siano i due estremi si ha $ gamma (t_{1}) \ne gamma (t_{2}) $ . Il mio problema è che non riesco ad applicarla ai fini pratici dell'esercizio. Mi potresti aiutare facendomi vedere come applicarla a questo esercizio?
provo... ma se sbaglio correggetemi!
allora una curva è semplice se non si "annoda", non si "intreccia", quindi dati due parametri diversi $t_1=!t_2$ dobbiamo ottenere due punti diversi nel piano, cioè $gamma(t_1)=!gamma(t_2)$. Se i due parametri diversi fossero gli estremi e $gamma(t_1)=gamma(t_2)$ allora la curva si chiuderebbe ma sarebbe ancora semplice.
Ora giacché $gamma(t)=(t^2;t^3)$ e il parametro può variare tra 0 e 1 siamo certi che la prima coordinata, l'ascissa $t^2$, non potrà mai assumere due valori uguali; neanche la seconda, l'ordinata $t^3$ potrà assumere due valori uguali nell'intervallo e siamo due volte certi che la curva non si "attorciglierà". Che ne pensi? Proviamo a costruire delle altre curve e vediamo cosa succede?
allora una curva è semplice se non si "annoda", non si "intreccia", quindi dati due parametri diversi $t_1=!t_2$ dobbiamo ottenere due punti diversi nel piano, cioè $gamma(t_1)=!gamma(t_2)$. Se i due parametri diversi fossero gli estremi e $gamma(t_1)=gamma(t_2)$ allora la curva si chiuderebbe ma sarebbe ancora semplice.
Ora giacché $gamma(t)=(t^2;t^3)$ e il parametro può variare tra 0 e 1 siamo certi che la prima coordinata, l'ascissa $t^2$, non potrà mai assumere due valori uguali; neanche la seconda, l'ordinata $t^3$ potrà assumere due valori uguali nell'intervallo e siamo due volte certi che la curva non si "attorciglierà". Che ne pensi? Proviamo a costruire delle altre curve e vediamo cosa succede?
Come avete ricordato, una curva è semplice se non ha autointersezioni. Se le funzioni parametriche sono iniettive la curva è di certo semplice, ma è una condizione sufficiente benché non necessaria: mi piacerebbe usare il termine "sovrabbondante".
In realtà basta che $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ ovvero che, anche se non sono iniettive singolarmente, assumono individualmente valore in componenti differenti.
Siccome l'ho detta male e non si è capito nulla, prendiamo la circonferenza
$\gamma(t)=(cos(t),sin(t))$ con $t \in [0,2 \pi]$.
La circonferenza è chiusa, ma semplice perché a parte tale chiusura non ha altre autointersezioni: tuttavia le componenti sono ben lungi dall'essere iniettive. Il punto è proprio il fatto che assumono ugual valore in singole componenti diverse. Per esempio $\sqrt(2)/2 = cos(\pi/4)=cos(7/4 \pi)$
ma $sin(\pi/4) \ne sin(7/4 \pi)$.
Questo fa in modo che l'iniettività complessiva sia preservata, ma non vale per le singole componenti.
Diciamo che l'iniettività deve essere "globale", cioè della curva in sé - infatti si dice $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ per $t_1 \ne t_2$ (salvo estremi) - ma questo non vuol dire singole componenti iniettive. Tuttavia se le singole componenti sono iniettive siamo certi che la curva non ha autointersezioni.
Un altro esempio è l'elica
$\gamma(t)=(cos(t), sin(t), t)$
che non ha le componenti iniettive (a parte $z(t) =t$), però non ha autointersezioni!
Tutto questo per dire che la condizione di iniettività per ogni componente va benissimo, ma è anche troppo perché esistono curve semplici con componenti non iniettive. Anche restringendosi ad una sola componente, proponendo la sua iniettività, siamo comunque sovrabbondanti (si pensi proprio alla circonferenza).
Basta, in generale, che $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ per $t_1, t_2$ differenti e non estremi dell'intervallo.
Come dice gio73
e per essere diversi due punti, basta che abbiano almeno una componente differente (detta così si collega a quanto ho detto io).
In realtà basta che $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ ovvero che, anche se non sono iniettive singolarmente, assumono individualmente valore in componenti differenti.
Siccome l'ho detta male e non si è capito nulla, prendiamo la circonferenza
$\gamma(t)=(cos(t),sin(t))$ con $t \in [0,2 \pi]$.
La circonferenza è chiusa, ma semplice perché a parte tale chiusura non ha altre autointersezioni: tuttavia le componenti sono ben lungi dall'essere iniettive. Il punto è proprio il fatto che assumono ugual valore in singole componenti diverse. Per esempio $\sqrt(2)/2 = cos(\pi/4)=cos(7/4 \pi)$
ma $sin(\pi/4) \ne sin(7/4 \pi)$.
Questo fa in modo che l'iniettività complessiva sia preservata, ma non vale per le singole componenti.
Diciamo che l'iniettività deve essere "globale", cioè della curva in sé - infatti si dice $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ per $t_1 \ne t_2$ (salvo estremi) - ma questo non vuol dire singole componenti iniettive. Tuttavia se le singole componenti sono iniettive siamo certi che la curva non ha autointersezioni.
Un altro esempio è l'elica
$\gamma(t)=(cos(t), sin(t), t)$
che non ha le componenti iniettive (a parte $z(t) =t$), però non ha autointersezioni!
Tutto questo per dire che la condizione di iniettività per ogni componente va benissimo, ma è anche troppo perché esistono curve semplici con componenti non iniettive. Anche restringendosi ad una sola componente, proponendo la sua iniettività, siamo comunque sovrabbondanti (si pensi proprio alla circonferenza).
Basta, in generale, che $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ per $t_1, t_2$ differenti e non estremi dell'intervallo.
Come dice gio73
"gio73":
dobbiamo ottenere due punti diversi nel piano
e per essere diversi due punti, basta che abbiano almeno una componente differente (detta così si collega a quanto ho detto io).
"Zero87":
Come avete ricordato, una curva è semplice se non ha autointersezioni. Se le funzioni parametriche sono iniettive la curva è di certo semplice, ma è una condizione sufficiente benché non necessaria: mi piacerebbe usare il termine "sovrabbondante".
In realtà basta che $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ ovvero che, anche se non sono iniettive singolarmente, assumono individualmente valore in componenti differenti.
Siccome l'ho detta male e non si è capito nulla, prendiamo la circonferenza
$\gamma(t)=(cos(t),sin(t))$ con $t \in [0,2 \pi]$.
La circonferenza è chiusa, ma semplice perché a parte tale chiusura non ha altre autointersezioni: tuttavia le componenti sono ben lungi dall'essere iniettive. Il punto è proprio il fatto che assumono ugual valore in singole componenti diverse. Per esempio $\sqrt(2)/2 = cos(\pi/4)=cos(7/4 \pi)$
ma $sin(\pi/4) \ne sin(7/4 \pi)$.
Questo fa in modo che l'iniettività complessiva sia preservata, ma non vale per le singole componenti.
Diciamo che l'iniettività deve essere "globale", cioè della curva in sé - infatti si dice $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ per $t_1 \ne t_2$ (salvo estremi) - ma questo non vuol dire singole componenti iniettive. Tuttavia se le singole componenti sono iniettive siamo certi che la curva non ha autointersezioni.
Un altro esempio è l'elica
$\gamma(t)=(cos(t), sin(t), t)$
che non ha le componenti iniettive (a parte $z(t) =t$), però non ha autointersezioni!
Tutto questo per dire che la condizione di iniettività per ogni componente va benissimo, ma è anche troppo perché esistono curve semplici con componenti non iniettive. Anche restringendosi ad una sola componente, proponendo la sua iniettività, siamo comunque sovrabbondanti (si pensi proprio alla circonferenza).
Basta, in generale, che $\gamma(t_1) \ne \gamma(t_2)$ per $t_1, t_2$ differenti e non estremi dell'intervallo.
Come dice gio73
[quote="gio73"]dobbiamo ottenere due punti diversi nel piano
e per essere diversi due punti, basta che abbiano almeno una componente differente (detta così si collega a quanto ho detto io).
[/quote]Innanzitutto vi ringrazio per la vostra disponibilità e l'aiuto che mi state dando. Avrei comunque altri dubbi. Avete giustamente detto che per dimostrare che una curva è semplice basta prendere due valori dell'intervallo con almeno uno non coincidente con gli estremi e vedere che $ \gamma(t_{1}) \ne \gamma(t_{2}) $ .La mia domanda arrivati a questo punto è, data una curva e un intervallo come faccio a sapere quale valore di $ t_{1} $ e di $ t_{2} $ prendere? Cioè è arbitraria la scelta? Posso prendere due valori a caso dell'intervallo? Vi faccio queste domande perchè penso appunto che non possa essere una scelta arbitraria ma oculata in quanto per due valori $ t_{1} $ e di $ t_{2} $ di un intervallo posso avere che $ \gamma(t_{1}) \ne \gamma(t_{2}) $ mentre per altri due valori $ t_{1} $ e di $ t_{2} $ posso avere che la diseguaglianza non si verifica. Quindi in sostanza, come faccio a prendere i giusti valori $ t_{1} $ e di $ t_{2} $ per cui $ \gamma(t_{1}) \ne \gamma(t_{2}) $ ?
"Raider991":
Avete giustamente detto che per dimostrare che una curva è semplice basta prendere due valori dell'intervallo con almeno uno non coincidente con gli estremi e vedere che $ \gamma(t_{1}) \ne \gamma(t_{2}) $ .La mia domanda arrivati a questo punto è, data una curva e un intervallo come faccio a sapere quale valore di $ t_{1} $ e di $ t_{2} $ prendere?
Mumble, mumble...
personalmente la vedo così:
non basta prendere due valori $t_1$ e $t_2$ interni all'intervallo e verificare che restituiscono due punti diversi sul piano per stabilire che la curva è semplice. Qualsiasi coppia $t_1;t_2$ con $t_1!=t_2$, interna all'intervallo deve restituire due punti diversi.
"gio73":
[quote="Raider991"]
Avete giustamente detto che per dimostrare che una curva è semplice basta prendere due valori dell'intervallo con almeno uno non coincidente con gli estremi e vedere che $ \gamma(t_{1}) \ne \gamma(t_{2}) $ .La mia domanda arrivati a questo punto è, data una curva e un intervallo come faccio a sapere quale valore di $ t_{1} $ e di $ t_{2} $ prendere?
Mumble, mumble...
personalmente la vedo così:
non basta prendere due valori $t_1$ e $t_2$ interni all'intervallo e verificare che restituiscono due punti diversi sul piano per stabilire che la curva è semplice. Qualsiasi coppia $t_1;t_2$ con $t_1!=t_2$, interna all'intervallo deve restituire due punti diversi.[/quote]
e quindi cosa significa? Che dovrei provare tutti i valori di un intervallo?
"Raider991":
e quindi cosa significa? Che dovrei provare tutti i valori di un intervallo?
Ehm... il problema è che sono troppi; dobbiamo cercare vie alternative, come quelle che ti sono state suggerite.
"gio73":
provo... ma se sbaglio correggetemi!
allora una curva è semplice se non si "annoda", non si "intreccia", quindi dati due parametri diversi $t_1=!t_2$ dobbiamo ottenere due punti diversi nel piano, cioè $gamma(t_1)=!gamma(t_2)$. Se i due parametri diversi fossero gli estremi e $gamma(t_1)=gamma(t_2)$ allora la curva si chiuderebbe ma sarebbe ancora semplice.
Ora giacché $gamma(t)=(t^2;t^3)$ e il parametro può variare tra 0 e 1 siamo certi che la prima coordinata, l'ascissa $t^2$, non potrà mai assumere due valori uguali; neanche la seconda, l'ordinata $t^3$ potrà assumere due valori uguali nell'intervallo e siamo due volte certi che la curva non si "attorciglierà". Che ne pensi? Proviamo a costruire delle altre curve e vediamo cosa succede?
La risposta l'ha già data gio73.
Se vuoi toccare con mano disegna il grafico della funzione $y=t^2 $ con $ t in [0,1]$ e vedrai che per nessun valore d $t $ il valore di $y $ si ripete ; lo stesso per $y =t^3 $.
"gio73":
personalmente la vedo così:
non basta prendere due valori $t_1$ e $t_2$ interni all'intervallo e verificare che restituiscono due punti diversi sul piano per stabilire che la curva è semplice. Qualsiasi coppia $t_1;t_2$ con $t_1!=t_2$, interna all'intervallo deve restituire due punti diversi.
Forse l'ho sottinteso, però è proprio così.
Rigirando la frittata, il ragionamento è come quello delle funzioni iniettive: si può porre $\gamma(t_1)=\gamma(t_2)$ e vedere cosa esce fuori. Se vengono 2 valori uguali o i due estremi dell'intervallo allora no problem.
anche io sapevo in pratica che quando il grafico di una funzione nel dato intervallo non si "intreccia" allora la funzione è semplice....ovviamente non devo disegnare i due grafici nello stesso piano,vero? Cioè devo fare proprio due disegni in due piani diversi (nel caso che la curva abbia 2 coordinate),giusto? ...poi vedo se tutti i grafici non si "intrecciano" e di conseguenza tiro le somme . Ditemi se ho ben capito 
. Ditemi se ho ben capito
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