Come si scompone questo polinomio?

[MaxMat1]

Sto risolvendo un integrale,e non ricordo come effettuare la scomposizione di qualcosa tipo:
x^4+x^3+2x^2+x+1
Ho provato tutte le messe in evidenza possibili ma non riesco ad ottenere il prodotto di due fattori.
E' chiaro che non ricordo qualche trucchetto che si usava alle superiori...mi aiutate?

[Paolo902]

"MaxMat":Sto risolvendo un integrale,e non ricordo come effettuare la scomposizione di qualcosa tipo:
x^4+x^3+2x^2+x+1

Quel polinomio non ha radici razionali (prima cosa che devi controllare: eventualmente applichi Ruffini, ma qui ripeto non si può).

Però si può fattorizzare nel prodotto di due polinomi (monici) di secondo grado: imposti il conto
[tex](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/tex]

e poi applichi il principio di identità dei polinomi; viene fuori un sistema di quattro equazioni in quattro incognite (che, se non ho sbagliato i conti, è risolubile).

Chiaro? Se hai ancora dubbi siamo qui.


P.S. Benvenuto

[MaxMat1]

"Paolo90":[quote="MaxMat"]Sto risolvendo un integrale,e non ricordo come effettuare la scomposizione di qualcosa tipo:
x^4+x^3+2x^2+x+1

Quel polinomio non ha radici razionali (prima cosa che devi controllare: eventualmente applichi Ruffini, ma qui ripeto non si può).

Però si può fattorizzare nel prodotto di due polinomi (monici) di secondo grado: imposti il conto
[tex](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/tex]

e poi applichi il principio di identità dei polinomi; viene fuori un sistema di quattro equazioni in quattro incognite (che, se non ho sbagliato i conti, è risolubile).

Chiaro? Se hai ancora dubbi siamo qui.


P.S. Benvenuto [/quote]


Non ha radici razionali perchè l'unica radice possibile, se ricordo bene, sarebbe 1/1=1 che non soddisfa l'equazione, è esatto?
(come si fa per rispondere direttamente sotto le righe alle quali ci si riferisce senza ricopiarsi a mano i "/quote"?)



Grazie per il tuo prodecimento, un'altra freccia al mio arco, ma ricordavo qualche trucchetto algebrico che metteva in evidenza qualcosa...non posso essere più preciso perchè altrimenti non avrei aperto il post!!
Grazie anhce per il benvenuto! Devo assoltamente prendermi Analisi 1 a settembre! Vi posso bombardare di richieste anche a ferragosto?

[franced]

Per scomporre il polinomio

$x^4+x^3+2x^2+x+1$

possiamo scriverlo nel modo seguente:

$x^4+2x^2+1+x^3+x$

i primi tre "pezzi" sono $(x^2+1)^2$, mentre gli ultimi due sono $x(x^2+1)$
quindi abbiamo

$(x^2+1)^2 + x (x^2+1)$

raccogliendo $(x^2+1)$ otteniamo finalmente la scomposizione

$(x^2+1)(x^2+1+x)$ .


Osservazione: il polinomio iniziale ha come possibili radici razionali $x=1$ e $x=-1$.

[franced]

"Paolo90":

Però si può fattorizzare nel prodotto di due polinomi (monici) di secondo grado: imposti il conto
[tex](x^2+ax+b)(x^2+cx+d)[/tex]

e poi applichi il principio di identità dei polinomi
...

Se uno riesce a "vedere" la scomposizione come ho fatto io ok (è il metodo più veloce),
altrimenti può impostare il metodo "forza bruta" di Paolo...

Però se consideriamo il polinomio

$x^2408+x^1205+2*x^1204+x+1$

si nota subito che è meglio scoprire il "trucco"...

[MaxMat1]

"franced":Per scomporre il polinomio

$x^4+x^3+2x^2+x+1$

possiamo scriverlo nel modo seguente:

$x^4+2x^2+1+x^3+x$

i primi tre "pezzi" sono $(x^2+1)^2$, mentre gli ultimi due sono $x(x^2+1)$
quindi abbiamo

$(x^2+1)^2 + x (x^2+1)$

raccogliendo $(x^2+1)$ otteniamo finalmente la scomposizione

$(x^2+1)(x^2+1+x)$ .


Osservazione: il polinomio iniziale ha come possibili radici razionali $x=1$ e $x=-1$.

Grazie era proprio questo il trucco che cercavo!

[franced]

Prego.