Come si risolvono questi problemi di Cauchy?

[Knuckles1]

1) $\{(y^{\prime}(x)=e^y(x)log(1+|x|)),(y(0)=z):}$


2) $\{(y^{\prime}(x)=sqrt(y(x))),(y(0)=0):}$

[Lord K]

Simili ai problemi che hai posto nell'altro post sono delle equazioni a variabili separabili. Seguendo la ricetta data in precedenza:

Problema 1)

${(y'=e^yln(1+|x|)),(y(0)=z):}$

$y'e^(-y) = ln(1+|x|)$

$int e^(-y) dy = int ln(1+|x|)dx$

Per $|x|>0$ (il secondo membro si risolve per parti):

$-e^(-y) = (x+1)ln(1+x) - x + c$

da cui:

$y= -ln(x - (x+1)ln(1+x) + c)$

quindi adatto la condizione iniziale:

$y(0)= - ln(c) = z rightarrow c=e^(-z)$

Soluzione:

$y= -ln(x - (x+1)ln(1+x) + e^(-z))$

Per $|x|<0$ (il secondo membro si risolve per parti):

$-e^(-y) = (x-1)ln(1-x) + x + c$

da cui:

$y= -ln(-x - (x-1)ln(1-x) + c)$

quindi adatto la condizione iniziale:

$y(0)= - ln(c) = z rightarrow c=e^(-z)$

Soluzione:

$y= -ln(-x - (x-1)ln(1-x) + e^(-z))$

Soluzione completa:

$y={(-ln(x - (x+1)ln(1+x) + e^(-z)) rightarrow x>=0),(-ln(-x - (x-1)ln(1-x) + e^(-z)) rightarrow x<0):}

[Lord K]

Problema 2)

$y'=sqrt(y)$

$(y')y^(-1/2)=1$

$int (dy)/sqrt(y) = int dx$

$2sqrt(y)=x+c$
$y=(x/2+c)^2$

Considerando le condizioni iniziali:

$y(0) = 0 rightarrow c=0$

Soluzione:

$y=x^2/4$

Soluzione particolare:

$y=0$

Soluzione completa:

$y=x^2/4$

[Knuckles1]

innanzi tutto grazie

una cosa il mio prof penso un po velocemente ha svolto l'esercizio dicendo soltanto: esistono almeno queste due soluzioni $y_1^{\prime}(x)=0;y_2^{\prime}(x)=x^2/4$ in un intorno di destro di zero....

se soluzioni che ha trovato sono le stesse che hai trovato te? e cosa vuol dire che le soluzioni sono quelle in un intorno destro di zero?

[Lord K]

Di nulla.

L'intorno di $0^+$ è necessario per questioni di esistenza,se $y$ fosse negativo non avrebbe senso $sqrt(y)$

[Knuckles1]

nel primo esercizio è possibile deteerminare quanto vale z per x=0?

[Lord K]

Il valore di $z$ in questo caso è considerato un parametro, anche perchè lo inserisci come condizione iniziale:

$y(0)=z$

quindi il suo valore è arbitrario.

[Knuckles1]

ok quindi non c'è nessun caso particolare da considerare.....

potresti guardare qui? https://www.matematicamente.it/forum/pro ... tml#246293