Come si risolve??aiutatemi sono disperato!
mi aiutate a risolvere quest'integrale??? vi prego sono disperato!!!!
$int_0^(+oo) 1/x^(3/2) arcsin[x/(x+1)]$
Sono riuscito ad arrivare qui:
$-2/sqrt(x) arcsin[x/(x+1)]+2 int_0^(+oo) 1/[(x+1)sqrt(2x^2+x)]$
ho cioè iniziato lo sviluppo dell'integrale per parti e adesso non sò più continuare.....
vi prego aiutatemi!
$int_0^(+oo) 1/x^(3/2) arcsin[x/(x+1)]$
Sono riuscito ad arrivare qui:
$-2/sqrt(x) arcsin[x/(x+1)]+2 int_0^(+oo) 1/[(x+1)sqrt(2x^2+x)]$
ho cioè iniziato lo sviluppo dell'integrale per parti e adesso non sò più continuare.....
vi prego aiutatemi!
Risposte
sia $sqrtx=krArr x=k^2 rArr dx=2kdk
$int1/k^3arcsin(k^2/(k^2+1))*2kdk=2int1/k^2arcsin(k^2/(k^2+1))dk=
$=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4int1/(2k^2+1)dk=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4/sqrt2intsqrt2/((sqrt2k)^2+1)dk=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4/sqrt2arctan(sqrt2k)+c
ovvero $int_0^(+oo)1/x^(3/2)arcsin(x/(x+1))dx=lim_(omega->+oo)(-2*1/sqrtomegaarcsin(omega/(omega+1))+4/sqrt2arctan(sqrt(2omega)))-lim_(gamma->0^+)(-2*1/sqrtgammaarcsin(gamma/(gamma+1))+4/sqrt2arctan(sqrt(2gamma)))=sqrt2pi
$int1/k^3arcsin(k^2/(k^2+1))*2kdk=2int1/k^2arcsin(k^2/(k^2+1))dk=
$=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4int1/(2k^2+1)dk=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4/sqrt2intsqrt2/((sqrt2k)^2+1)dk=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4/sqrt2arctan(sqrt2k)+c
ovvero $int_0^(+oo)1/x^(3/2)arcsin(x/(x+1))dx=lim_(omega->+oo)(-2*1/sqrtomegaarcsin(omega/(omega+1))+4/sqrt2arctan(sqrt(2omega)))-lim_(gamma->0^+)(-2*1/sqrtgammaarcsin(gamma/(gamma+1))+4/sqrt2arctan(sqrt(2gamma)))=sqrt2pi
"NOKKIAN80":
sia $sqrtx=krArr x=k^2 rArr dx=2kdk
$int1/k^3arcsin(k^2/(k^2+1))*2kdk=2int1/k^2arcsin(k^2/(k^2+1))dk=
$=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4int1/(2k^2+1)dk=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4/sqrt2intsqrt2/((sqrt2k)^2+1)dk=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4/sqrt2arctan(sqrt2k)+c
ovvero $int_0^(+oo)1/x^(3/2)arcsin(x/(x+1))dx=lim_(omega->+oo)(-2*1/sqrtomegaarcsin(omega/(omega+1))+4/sqrt2arctan(sqrt(2omega)))-lim_(gamma->0^+)(-2*1/sqrtgammaarcsin(gamma/(gamma+1))+4/sqrt2arctan(sqrt(2gamma)))=sqrt2pi
grazie per la risposta....ho però un problema
sto provando a farlo come mi hai indicato tu (bel metodo...complimenti...non c'avevo pensato!).... ma mi sono bloccato qua:
$=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4int1/(2k^2+1)dk=$
sviluppando l'integrale per parti,a me non viene cosi' come dici tu ma mi viene:
$=-2*1/karcsin(k^2/(k^2+1))+4int sqrt[(k^2+1)^2/(2k^2+1)] 1/(k^2+1)^2dk=$
o sbaglio io nel fare la derivata per parti....oppure non ho capito qualcosa....
mi riesci ad aiutare in qualche modo??
mi sono sbagliato.
a questo punto puoi provare ad operare la sostituzione
$sqrt(k^2+1/2)=k+t
e dopo una serie di calcoli ottieni che il secondo integrale è uguale a
$-8/(3sqrt2)int(2t^3+t)/((1/6-t^2)(t^4+3t^2+1/4))dt=-8/(3sqrt2)int(2t^2+t)/((1/sqrt6-t)(1/sqrt6+t)(t^2+(3-2sqrt2)/2)(t^2+(3+2sqrt2)/2))dt
per proseguire i calcoli poni $a=1/sqrt6$, $b=(3-2sqrt2)/2$, $c=(3+2sqrt2)/2
cmq percorri una strada più semplice se la trovi
a questo punto puoi provare ad operare la sostituzione
$sqrt(k^2+1/2)=k+t
e dopo una serie di calcoli ottieni che il secondo integrale è uguale a
$-8/(3sqrt2)int(2t^3+t)/((1/6-t^2)(t^4+3t^2+1/4))dt=-8/(3sqrt2)int(2t^2+t)/((1/sqrt6-t)(1/sqrt6+t)(t^2+(3-2sqrt2)/2)(t^2+(3+2sqrt2)/2))dt
per proseguire i calcoli poni $a=1/sqrt6$, $b=(3-2sqrt2)/2$, $c=(3+2sqrt2)/2
cmq percorri una strada più semplice se la trovi
"NOKKIAN80":
mi sono sbagliato.
a questo punto puoi provare ad operare la sostituzione
$sqrt(k^2+1/2)=k+t
e dopo una serie di calcoli ottieni che il secondo integrale è uguale a
$-8/(3sqrt2)int(2t^3+t)/((1/6-t^2)(t^4+3t^2+1/4))dt=-8/(3sqrt2)int(2t^2+t)/((1/sqrt6-t)(1/sqrt6+t)(t^2+(3-2sqrt2)/2)(t^2+(3+2sqrt2)/2))dt
per proseguire i calcoli poni $a=1/sqrt6$, $b=(3-2sqrt2)/2$, $c=(3+2sqrt2)/2
cmq percorri una strada più semplice se la trovi
per arrivare da qui $sqrt(k^2+1/2)=k+t
a qui $-8/(3sqrt2)int(2t^3+t)/((1/6-t^2)(t^4+3t^2+1/4))dt=$
che fai??? ti ricavi k?? io c'ho provato....poi però se vado a sostiruire mi vengono calcoli assurdi!!!!
può essere che ho sbagliato??? a me k è venuto $k=(1-2t^2)/(4t)$.... giusto?
altra cosa....tu hai semplificato $int 1/(k^2+1)^2 sqrt[(k^2+1)^2/(1+2k^2)]= int 1/(k^2+1) 1/sqrt(1+2k^2)$ (sempre se è ammesso farlo?!)
essendo l'integrale indefinito non possiamo recuperare le informazioni fornite dal modulo (o almeno non c'è un metodo elementare)
qundi pongo $sqrt(k^2+1)^2=k^2+1
questo integrale mi pare interessante, come esercizio pre-esame, anche se la soluzione, come l'ho trovata io mi pare troppo dispendiosa e noiosa soprattutto. cmq ho risolto il sistema anche se magari la parte interessante sta prima.
il fatto tecnico di come ho fatto la sostituzione è solo una questione di algebra
qundi pongo $sqrt(k^2+1)^2=k^2+1
questo integrale mi pare interessante, come esercizio pre-esame, anche se la soluzione, come l'ho trovata io mi pare troppo dispendiosa e noiosa soprattutto. cmq ho risolto il sistema anche se magari la parte interessante sta prima.
il fatto tecnico di come ho fatto la sostituzione è solo una questione di algebra
"NOKKIAN80":
essendo l'integrale indefinito non possiamo recuperare le informazioni fornite dal modulo (o almeno non c'è un metodo elementare)
qundi pongo sqrt[(k^2+1)^2]=k^2+1
Nokkian80,scusa, ma allora la semplificazione è o non è ammessa farla??
"NOKKIAN80":
il fatto tecnico di come ho fatto la sostituzione è solo una questione di algebra
infatti....mi sà che sbaglio qualche cosa perchè io non riesco proprio a trovare la tua soluzione
inoltre ,sono andato al ricevimento dal prof,e mi ha detto che come ho iniziato io a svolgere l'integrale (cioè per parti) va bene...e che poi dovrei porre $sqrt[x(2x+1)]=sqrt(2)x+t$...e che dopo i dovuti calcoli dovrebbe venire $int 1/[t^2-2sqrt(2)t+1]$..... a me non viene per nulla cosi'....qualcuno potrebbe provarci e farmi vedere come c'è arrivato??
grazie
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