Come si risolve questo limite ?

[gcan]

$ lim_(x -> 0+) $ radice ottava di x * ln(x^8)

[Gi81]

E' questo il limite? \(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+} } \sqrt[8]{x \cdot \log(x^8)} \)

[gcan]

La radice e' solo sulla x

[Gi81]

\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+} } \sqrt[8]{x} \cdot \log(x^8) = 8 \cdot \lim_{x \to 0^{+} } \left[x^{\frac{1}{8}}\cdot \log(x)\right]\)
Così va meglio?

[gcan]

È una forma indeterminata, giusto? Posso usare de l'hopital?

[Gi81]

Puoi usare De L'Hopital se lo metti così: $lim_{x -> 0^+} (log(x))/(x^{-1/8})$

[gcan]

Oppure che metodo posso usare?

[Gi81]

"Giugiu93":Oppure che metodo posso usare?

Saprai senz'altro che $lim_{t-> 0^+} t *log(t)=0$ (gerarchia degli infinitesimi)
Bene, facciamo la sostituzione $t=x^{1/8}$. Se $x->0^+$ anche $t->0^+$.
\( \displaystyle 8 \cdot \lim_{x \to 0^{+} } \left[x^{\frac{1}{8}}\cdot \log(x)\right]= 8 \cdot \lim_{t \to 0^{+} } \left[t\cdot \log(t^8)\right]= 64 \cdot \lim_{t \to 0^{+} } \left[t\cdot \log(t)\right]=64 \cdot 0=0\)

[gcan]

"Gi8":[quote="Giugiu93"]Oppure che metodo posso usare?

Saprai senz'altro che $lim_{t-> 0^+} t *log(t)=0$ (gerarchia degli infinitesimi)
Bene, facciamo la sostituzione $t=x^{1/8}$. Se $x->0^+$ anche $t->0^+$.
\( \displaystyle 8 \cdot \lim_{x \to 0^{+} } \left[x^{\frac{1}{8}}\cdot \log(x)\right]= 8 \cdot \lim_{t \to 0^{+} } \left[t\cdot \log(t^8)\right]= 64 \cdot \lim_{t \to 0^{+} } \left[t\cdot \log(t)\right]=64 \cdot 0=0\)[/quote]

Ultima riga, dopo l'uguale, perché hai elevato di nuovo l'argomento del logaritmo all'ottava quando avevi già portato fuori 8?
Grazie per la disponibilità

[Gi81]

Perchè ho fatto la sostituzione $t= x^(1/8)$, dunque ho $x=t^8$.

Dunque $log(x)$ diventa $log(t^8)$.