Come si risolve questo integrale?
Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere l'integrale di linea di prima specie
\[ \int_{\gamma} m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\, {\rm d}s \]
sapendo che \( m \) è la massa di un punto materiale e \( v \) è la componente del suo vettore velocità rispetto al versore tangente.
In pratica questo integrale mi deve fornire la variazione di energia cinetica del punto, dato che sono arrivato qui a partire dall'integrale
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r} \]
che corrisponde a sua volta al lavoro complessivo di \( \mathbf{F} \) durante lo spostamento attraverso il sostegno di \( \gamma \).
Io ho provato applicando la definizione: fissata una parametrizzazione \( \mathbf{r} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3 \) di \( \gamma \), si ha
\[ \int_a^b m \frac{{\rm d}v(\mathbf{r}(t))}{{\rm d}t} \left | \mathbf{r}'(t) \right |\, {\rm d}t \]
ma da qui non ho la più pallida idea di come muovermi per arrivare al risultato.
La richiesta è nella sezione Analisi perché mi interessa unicamente l'aspetto matematico del problema.
Chi mi sa aiutare?
sto cercando di risolvere l'integrale di linea di prima specie
\[ \int_{\gamma} m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\, {\rm d}s \]
sapendo che \( m \) è la massa di un punto materiale e \( v \) è la componente del suo vettore velocità rispetto al versore tangente.
In pratica questo integrale mi deve fornire la variazione di energia cinetica del punto, dato che sono arrivato qui a partire dall'integrale
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r} \]
che corrisponde a sua volta al lavoro complessivo di \( \mathbf{F} \) durante lo spostamento attraverso il sostegno di \( \gamma \).
Io ho provato applicando la definizione: fissata una parametrizzazione \( \mathbf{r} : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3 \) di \( \gamma \), si ha
\[ \int_a^b m \frac{{\rm d}v(\mathbf{r}(t))}{{\rm d}t} \left | \mathbf{r}'(t) \right |\, {\rm d}t \]
ma da qui non ho la più pallida idea di come muovermi per arrivare al risultato.
La richiesta è nella sezione Analisi perché mi interessa unicamente l'aspetto matematico del problema.
Chi mi sa aiutare?
Risposte
Senza sapere come sono fatti esplicitamente \(v\) ed \(\mathbf{r}\) è impossibile rispondere.
Inoltre, che vuol dire "risolvere"?...
Inoltre, che vuol dire "risolvere"?...
Intendo "calcolare", mi sono espresso male.
Comunque la domanda nasce perché in Fisica si trovano i soliti passaggi del tipo
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}\mathbf{r} = \int_{\gamma} F_t\, {\rm d}s = \int_{\gamma} m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} \, {\rm d}s = \int_{\gamma} mv {\rm d}v = \int_{\gamma} {\rm d} \left ( \frac{1}{2} mv^2 \right ) = \int_{\gamma} {\rm d} E_c = \Delta E_c \]
Possibile che col metodo raffazzone si arrivi in fondo mentre col metodo corretto no (a meno di aggiungere delle ipotesi ulteriori)? Mi sembra strano.
Comunque la domanda nasce perché in Fisica si trovano i soliti passaggi del tipo
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}\mathbf{r} = \int_{\gamma} F_t\, {\rm d}s = \int_{\gamma} m \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} \, {\rm d}s = \int_{\gamma} mv {\rm d}v = \int_{\gamma} {\rm d} \left ( \frac{1}{2} mv^2 \right ) = \int_{\gamma} {\rm d} E_c = \Delta E_c \]
Possibile che col metodo raffazzone si arrivi in fondo mentre col metodo corretto no (a meno di aggiungere delle ipotesi ulteriori)? Mi sembra strano.
Quindi cosa stai facendo? Vuoi dimostrare in modo rigoroso il teorema delle forze vive, se capisco bene. Giusto? (E non era meglio dirlo subito invece di fare tutti questi giri di parole? 
)
Questa è una cosa che è stata già fatta qui sul forum, mi pare. In ogni caso devi usare l'equazione di Newton. Forse ti conviene prenderla nella forma \(\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\), dove \(\mathbf{p}\) è il momento. Così facendo l'energia cinetica è \(K=\frac{p^2}{2m}\).
)Questa è una cosa che è stata già fatta qui sul forum, mi pare. In ogni caso devi usare l'equazione di Newton. Forse ti conviene prenderla nella forma \(\mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\), dove \(\mathbf{p}\) è il momento. Così facendo l'energia cinetica è \(K=\frac{p^2}{2m}\).
"dissonance":
Quindi cosa stai facendo? Vuoi dimostrare in modo rigoroso il teorema delle forze vive, se capisco bene. Giusto? (E non era meglio dirlo subito invece di fare tutti questi giri di parole?
Di più: l'idea di fondo è arrivare al risultato corretto con passaggi corretti, ma seguendo comunque l'impostazione dei passaggi disinvolti che spesso si usano in Fisica.
"dissonance":
Questa è una cosa che è stata già fatta qui sul forum, mi pare. In ogni caso devi usare l'equazione di Newton. Forse ti conviene prenderla nella forma \( \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt} \), dove \( \mathbf{p} \) è il momento. Così facendo l'energia cinetica è \( K=\frac{p^2}{2m} \).
Questa è sicuramente una strada alternativa, ma come hai appena letto ciò che mi interessa è una dimostrazione che ricalchi i passaggi che ho scritto sopra.
La butto lì...
Prendendo come r.p. di \(\gamma\) la legge oraria \(t\mapsto \mathbf{r}(t)\) e tenendo presente che, per Newton, \(\mathbf{F}(t) = m\ \ddot{\mathbf{r}}(t)\) lungo la traiettoria, hai:
\[
\begin{split}
\int_\gamma \mathbf{F}\cdot \text{d} \mathbf{r} &= \int m\ \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t)\rangle\ \text{d} t \\
&= \int \frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ \frac{1}{2}\ m\ \underbrace{\langle \dot{\mathbf{r}}(t) , \dot{\mathbf{r}}(t)\rangle}_{\color{maroon}{= |\dot{\mathbf{r}}(t)|^2} =:v^2(t)} \Big]\ \text{d} t \\
&= \int \frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ \underbrace{\frac{1}{2}\ m\ v^2(t)}_{\color{maroon}{=:K(t)}}\Big]\ \text{d} t \\
&= \Delta K
\end{split}
\]
come volevi.
Prendendo come r.p. di \(\gamma\) la legge oraria \(t\mapsto \mathbf{r}(t)\) e tenendo presente che, per Newton, \(\mathbf{F}(t) = m\ \ddot{\mathbf{r}}(t)\) lungo la traiettoria, hai:
\[
\begin{split}
\int_\gamma \mathbf{F}\cdot \text{d} \mathbf{r} &= \int m\ \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t)\rangle\ \text{d} t \\
&= \int \frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ \frac{1}{2}\ m\ \underbrace{\langle \dot{\mathbf{r}}(t) , \dot{\mathbf{r}}(t)\rangle}_{\color{maroon}{= |\dot{\mathbf{r}}(t)|^2} =:v^2(t)} \Big]\ \text{d} t \\
&= \int \frac{\text{d}}{\text{d} t} \Big[ \underbrace{\frac{1}{2}\ m\ v^2(t)}_{\color{maroon}{=:K(t)}}\Big]\ \text{d} t \\
&= \Delta K
\end{split}
\]
come volevi.
Qualche chiarimento sulle notazioni:
(1) L'integrale
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s \]
è quello che io ho indicato con
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r} \]
giusto?
(2) L'integrale
\[ \int m \left \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
denota un integrale di Riemann su estremi di integrazione opportuni (non riportati) che dipendono dalla scelta di \( \mathbf{r} \), ho capito bene?
Chiariti questi punti, potresti farmi vedere più nel dettaglio il passaggio
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s = \int m \left \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]?
La definizione in mio possesso è
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s = \int \left \langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
e non riesco a riconciliare le due cose. Cioè, se \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \), il campo di forze è definito da
\[ \mathbf{F}(\mathbf{x}) = m \mathbf{a}(\mathbf{x}) \]
Quindi
\[ \left. \mathbf{F}(\mathbf{x}) \right |_{\mathbf{x} = \mathbf{r}(t)} = m \mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) \]
So che è un'assurdità e sento che c'è di mezzo un gioco di composizioni non lecite (in qualche senso).
Grazie per la pazienza.
(1) L'integrale
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s \]
è quello che io ho indicato con
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r} \]
giusto?
(2) L'integrale
\[ \int m \left \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
denota un integrale di Riemann su estremi di integrazione opportuni (non riportati) che dipendono dalla scelta di \( \mathbf{r} \), ho capito bene?
Chiariti questi punti, potresti farmi vedere più nel dettaglio il passaggio
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s = \int m \left \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]?
La definizione in mio possesso è
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s = \int \left \langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
e non riesco a riconciliare le due cose. Cioè, se \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \), il campo di forze è definito da
\[ \mathbf{F}(\mathbf{x}) = m \mathbf{a}(\mathbf{x}) \]
Quindi
\[ \left. \mathbf{F}(\mathbf{x}) \right |_{\mathbf{x} = \mathbf{r}(t)} = m \mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) \]
So che è un'assurdità e sento che c'è di mezzo un gioco di composizioni non lecite (in qualche senso).
Grazie per la pazienza.
"Riccardo Desimini":
(1) L'integrale
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s \]
è quello che io ho indicato con
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r} \]
giusto?
Certo. Mi è scappato un typo, che devo correggere.
"Riccardo Desimini":
(2) L'integrale
\[ \int m \left \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
denota un integrale di Riemann su estremi di integrazione opportuni (non riportati) che dipendono dalla scelta di \( \mathbf{r} \), ho capito bene?
Ovvio.
"Riccardo Desimini":
Chiariti questi punti, potresti farmi vedere più nel dettaglio il passaggio
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s = \int m \left \langle \ddot{\mathbf{r}}(t), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]?
La definizione in mio possesso è
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d}s = \int \left \langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
e non riesco a riconciliare le due cose. Cioè, se \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \), il campo di forze è definito da
\[ \mathbf{F}(\mathbf{x}) = m \mathbf{a}(\mathbf{x}) \]
Quindi
\[ \left. \mathbf{F}(\mathbf{x}) \right |_{\mathbf{x} = \mathbf{r}(t)} = m \mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) \]
So che è un'assurdità e sento che c'è di mezzo un gioco di composizioni non lecite (in qualche senso).
Macché composizioni... Semplicemente \(\mathbf{a}(t) = \ddot{\mathbf{r}}(t)\) per definizione di accelerazione.
In più, tieni presente che \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) denota il prodotto scalare.
Ed, inoltre... Ovviamente inserisci anche il mio nome tra gli autori delle dispensine che stai scrivendo, giusto?
Perdonami, ma continuo a non capire.
A me sembra che l'uguaglianza
\[ \mathbf{F}(t) = m\, \ddot{\mathbf{r}}(t) \]
non definisca un campo vettoriale, ma piuttosto una funzione vettoriale di variabile reale.
Come si concilia questo con il calcolo dell'integrale
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot\, {\rm d}\mathbf{r} \]
se la funzione \( \mathbf{F} \) non è neanche un campo vettoriale?
L'uguaglianza
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r} = \int \left \langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
definisce l'integrale di linea di seconda specie di \( \mathbf{F} \) se la si considera come un campo vettoriale, cosa che invece sfruttando l'uguaglianza \( \mathbf{F}(t) = m\, \ddot{\mathbf{r}}(t) \) non è stata fatta.
Capisci il mio problema?
Magari avessi il tempo di mettere tutte queste conoscenze su delle dispense in maniera chiara e dettagliata...
A me sembra che l'uguaglianza
\[ \mathbf{F}(t) = m\, \ddot{\mathbf{r}}(t) \]
non definisca un campo vettoriale, ma piuttosto una funzione vettoriale di variabile reale.
Come si concilia questo con il calcolo dell'integrale
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot\, {\rm d}\mathbf{r} \]
se la funzione \( \mathbf{F} \) non è neanche un campo vettoriale?
L'uguaglianza
\[ \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot {\rm d} \mathbf{r} = \int \left \langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)), \dot{\mathbf{r}}(t) \right \rangle\, {\rm d}t \]
definisce l'integrale di linea di seconda specie di \( \mathbf{F} \) se la si considera come un campo vettoriale, cosa che invece sfruttando l'uguaglianza \( \mathbf{F}(t) = m\, \ddot{\mathbf{r}}(t) \) non è stata fatta.
Capisci il mio problema?
"gugo82":
Ed, inoltre... Ovviamente inserisci anche il mio nome tra gli autori delle dispensine che stai scrivendo, giusto?
Magari avessi il tempo di mettere tutte queste conoscenze su delle dispense in maniera chiara e dettagliata...
Scusa Ric... L'integrale ti dice che il campo \(\mathbf{F}\) va valutato lungo la curva \(\gamma\), che costituisce la traiettoria del moto.
Il terzo principio di Newton ti dice che lungo la traiettoria la risultante delle forze agenti è direttamente proporzionale alla variazione del momento del sistema; se la massa del tuo sistema è costante, la variazione del momento è data da \(m\ddot{\mathbf{r}}\), sicché \(\mathbf{F}_{\text{lungo } \gamma} = m\ddot{\mathbf{r}}\).
Pertanto, quando calcoli l'integrale lungo \(\gamma\) usando come r.p. proprio la legge oraria \(\mathbf{r}\), puoi bellamente sostituire \(m\ddot{\mathbf{r}}\) al posto di \(\mathbf{F}\). Non vedo dove sia il problema.
Detto più terra-terra: se voglio sapere quanto vale un euro in valuta USA, mica vado a controllare il tasso di cambio con tutte le altre valute del mondo?
Il terzo principio di Newton ti dice che lungo la traiettoria la risultante delle forze agenti è direttamente proporzionale alla variazione del momento del sistema; se la massa del tuo sistema è costante, la variazione del momento è data da \(m\ddot{\mathbf{r}}\), sicché \(\mathbf{F}_{\text{lungo } \gamma} = m\ddot{\mathbf{r}}\).
Pertanto, quando calcoli l'integrale lungo \(\gamma\) usando come r.p. proprio la legge oraria \(\mathbf{r}\), puoi bellamente sostituire \(m\ddot{\mathbf{r}}\) al posto di \(\mathbf{F}\). Non vedo dove sia il problema.
Detto più terra-terra: se voglio sapere quanto vale un euro in valuta USA, mica vado a controllare il tasso di cambio con tutte le altre valute del mondo?
Sai, stavolta credo di aver capito. Grazie gugo (e dissonance).
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