Come si risolve questa tipologia di esercizi su cont. e der.
volevo sapere come bisogna impostare un esercizio del genere, quali passaggi fare, la traccia in questione è questa:
Dopo averne verificato l'esistenza , calcolare massimo e minimo assoluto della seguente funzione:
$ 3 root(3)(| 1 + x | ) - x $ nell''intervallo $[-2,0]$. (sotto radice c'è solo $|1+x|$, $-x$ sta fuori)
Grazie
Dopo averne verificato l'esistenza , calcolare massimo e minimo assoluto della seguente funzione:
$ 3 root(3)(| 1 + x | ) - x $ nell''intervallo $[-2,0]$. (sotto radice c'è solo $|1+x|$, $-x$ sta fuori)
Grazie
Risposte
Verifica se puoi applicare il teorema di Weierstrass, in pratica verifica se la funzione è continua su quell'intervallo. Una volta fatto questo, calcolando la derivata prima potrai trovare i punti stazionari e da lì verificare se sono massimi o minimi.
mi mette "paura" il fatto che tutto si svolga in un intervallo chiuso..non cambia niente?
"rizzellidj":
mi mette "paura" il fatto che tutto si svolga in un intervallo chiuso..non cambia niente?
Ma tu lo conosci l'enunciato del Teorema di Weierstrass?
si non su quello...ma quando devo studiare la derivata e i limiti non cambia niente?
Cosa dovrebbe cambiare? E quali limiti?
chiedo scusa ho fatto un po' di confusione.
allora, visto che verifica Weierstrass, mi son calcolato la derivata prima e l'ho posta uguale a zero per trovare i punti stazionari.
$f " " '(x)=0 $ per $ x=0 $
ora devo sostituire nella funzione $0$ e $-2$ per trovare i massimi e i minimi? devo porre la derivata prima maggiore uguale di zero?
allora, visto che verifica Weierstrass, mi son calcolato la derivata prima e l'ho posta uguale a zero per trovare i punti stazionari.
$f " " '(x)=0 $ per $ x=0 $
ora devo sostituire nella funzione $0$ e $-2$ per trovare i massimi e i minimi? devo porre la derivata prima maggiore uguale di zero?
mi è uscita come derivata $f" " '(x) = (1+x)/(root(3)(|1+x|^2)" "|1+x|) -1 $
ora mi sono bloccato sul porre la derivata $>=0$ , il numeratore è $>=0$ per $x>=0$ e il denominatore per $|x+1|^(5/3)>=1$ , sto facendo bene? non so se sono sulla buona strada perché il risultato dovrebbe essere $ -1
ora mi sono bloccato sul porre la derivata $>=0$ , il numeratore è $>=0$ per $x>=0$ e il denominatore per $|x+1|^(5/3)>=1$ , sto facendo bene? non so se sono sulla buona strada perché il risultato dovrebbe essere $ -1
1) dove hai dimostrato che la funzione è continua? Non lo vedo;
2) Per calcolare la derivata, ti consiglio di spezzare la funzione al modo seguente
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
3\sqrt[3]{1+x}-x & & \qquad -1\le x\le 0\\ & & \\ -3\sqrt[3]{1+x}-x & & \qquad -2\le x < 1
\end{array}\right.$[/tex]
derivare separatamente le due funzioni e risolvere la disequazione $f'(x)\ge 0$ sui due intervalli.
2) Per calcolare la derivata, ti consiglio di spezzare la funzione al modo seguente
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
3\sqrt[3]{1+x}-x & & \qquad -1\le x\le 0\\ & & \\ -3\sqrt[3]{1+x}-x & & \qquad -2\le x < 1
\end{array}\right.$[/tex]
derivare separatamente le due funzioni e risolvere la disequazione $f'(x)\ge 0$ sui due intervalli.
continua perché composta da funzioni continue.. ora faccio la prova a dividere il valore assoluto..
mi esce che nell'intervallo $-1<=x<=0$ la derivata è positiva per $-2<=x<=0$ e nell'intervallo $-2<=x<-1$ pure positiva per $-2<=x<=0$ sta bene? come procedo?
"rizzellidj":
mi esce che nell'intervallo $-1<=x<=0$ la derivata è positiva per $-2<=x<=0$
e dal momento che devi considerare solo l'intervallo $-1\le x\le 0$ avrai che...
e nell'intervallo $-2<=x<-1$ pure positiva per $-2<=x<=0$ sta bene? come procedo?
In questo caso, la derivata è sempre negativa.
ho sbagliato la seconda parte? in entrambi gli intervalli a me esce crescente la funzione mentre dal grafico fatto su wolframalpha descresce fino a -1 e poi cresce.
come fa ad uscire sempre negativa nell'intervallo [-2,-1] ?
come fa ad uscire sempre negativa nell'intervallo [-2,-1] ?
Visto che la funzione è stata riscritta come
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
3\sqrt[3]{x+1}-x & & \qquad -1\le x\le 0\\ & & \\ -3\sqrt[3]{x+1}-x & & -2\le x <1
\end{array}\right.$[/tex]
la sua derivata risulta
[tex]$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
(x+1)^{-2/3}-1 & & \qquad -1\le x\le 0\\ & & \\ -(x+1)^{-2/3}-1 & & -2\le x <1
\end{array}\right.$[/tex]
Per la prima $(x+1)^{-2/3}-1\ge 0$ se e solo se $1-(x+1)^{2/3}\ge 0$ (elimino il denominatore in quanto è sempre positivo essendo un quadrato) e quindi $(x+1)^2\le 1$ da cui $-1\le x+1\le 1$ e infine $-2\le x\le 0$, ma dovendo restringerci a $-1\le x\le 0$ ovviamente consideriamo solo questo intervallo, e quindi su esso la derivata è sempre positiva.
Per la seconda $-(x+1)^{2/3}-1<0$ in quanto somma di quantità negative: pertanto tale derivata è sempre negativa su $-2\le x < 1$.
[tex]$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
3\sqrt[3]{x+1}-x & & \qquad -1\le x\le 0\\ & & \\ -3\sqrt[3]{x+1}-x & & -2\le x <1
\end{array}\right.$[/tex]
la sua derivata risulta
[tex]$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
(x+1)^{-2/3}-1 & & \qquad -1\le x\le 0\\ & & \\ -(x+1)^{-2/3}-1 & & -2\le x <1
\end{array}\right.$[/tex]
Per la prima $(x+1)^{-2/3}-1\ge 0$ se e solo se $1-(x+1)^{2/3}\ge 0$ (elimino il denominatore in quanto è sempre positivo essendo un quadrato) e quindi $(x+1)^2\le 1$ da cui $-1\le x+1\le 1$ e infine $-2\le x\le 0$, ma dovendo restringerci a $-1\le x\le 0$ ovviamente consideriamo solo questo intervallo, e quindi su esso la derivata è sempre positiva.
Per la seconda $-(x+1)^{2/3}-1<0$ in quanto somma di quantità negative: pertanto tale derivata è sempre negativa su $-2\le x < 1$.
benissimo, ci sono.. ora devo trovarmi i massimi e i minimi.. pongo entrambe le derivate uguali a zero e vedo dove si annullano?
la prima si annulla per x=0 e x=-2 , la seconda non si annulla mai..
in ogni caso ho sostituito ad f(x) i valori -2, -1 e 0 ..ed ho ottenuto che f(-2)=5, f(-1)=1, f(0)=3 come faccio a sapere quali sono i massimi e i minimi?
la prima si annulla per x=0 e x=-2 , la seconda non si annulla mai..
in ogni caso ho sostituito ad f(x) i valori -2, -1 e 0 ..ed ho ottenuto che f(-2)=5, f(-1)=1, f(0)=3 come faccio a sapere quali sono i massimi e i minimi?
vedendo da wolframalpha mi da come massimo 3, in x=0..perchè viene escluso 5 di f(-2)?
ragazzi qualcuno mi puo aiutare per favore?
Senti, ma tu hai capito che devi considerare solo i valori di $x$ nell'intervallo $[-2,0]$? Se usi Wolphram, probabilmente esso disegna tutta la funzione, e quindi prende anche valori maggiori del massimo in $x=-2$ che avresti riducendoti all'intervallo dato. Quello che hai è che in $x=-2,\ x=0$ hai due massimi (quello assoluto in $x=-2$, mentre in $x=-1$ hai il minimo assoluto. Ripeto: questa considerazione va fatta in riferimento all'intervallo $[-2,0]$: fuori da esso la funzione va addirittura a $+\infty$ quindi massimi assoluti non ce ne sarebbero. Mi sa che devi capire meglio il concetto di fondo del Teorema di Weierstrass.
ok ci sono grazie 1000
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