Come si risolve questa eq differenziale?
$u''+4u^3 -2u=0$ ... cioè sto $u^3$ mi sconfinfera 
... ho le condizioni u(0)=0 e u'(0)=1
... ho le condizioni u(0)=0 e u'(0)=1
Risposte
Mmmmm.... un bel trucchetto può essere questo: se moltiplichi tutto per $u'$ hai
$u' u''+4 u' u^3-2 u u'=0$ e quindi, integrando $1/2(u')^2+u^4-u^2+c=0$
dalle condizioni iniziali trovi $1/2+c=0$ e quindi $c=-1/2$ e puoi ridurre il tutto alla due equazioni, a variabili separabili
$u'=\pm\sqrt{1+2(u^2-u^4)}$
$u' u''+4 u' u^3-2 u u'=0$ e quindi, integrando $1/2(u')^2+u^4-u^2+c=0$
dalle condizioni iniziali trovi $1/2+c=0$ e quindi $c=-1/2$ e puoi ridurre il tutto alla due equazioni, a variabili separabili
$u'=\pm\sqrt{1+2(u^2-u^4)}$
ok grazie... mi sembra strano però che un esrcizio del genere sia nel pretest dell'esame , dove ho 7 esercizi ed ho solo mezz'ora per farli !!!
Bé, di solito esiste una regola standard per risolvere equazioni di secondo ordine del tipo $F(u,u',u'')=0$, cioè dove l'equazione dipende solo da $u,\ u',\ u''$ e non dalla variabile dipendente. In questo caso si pone $u'=z$ e si tratta la $u$ come variabile indipendente: infatti usando la regola di derivazione per le funzioni composte, puoi scrivere
$u''=\frac{du'}{dx}=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\dot{z}\cdot u'=\dot{z}\cdot z$
(o usato il punto per denotare la derivata rispetto ad $u$). In questo modo la tua equazione diventa della forma $F(\dot{z} z,z,u)=0$ o se vuoi $G(\dot{z},z,u)=0$ che adesso risulta una equazione differenziale del primo ordine dipendente da tutte le sue variabili (dipendenti e indipendenti). Nell'esempio specifico:
$\dot{z} z+4u^3-2u=0$ può essere riscritta come $z\dot{z}=2u-4u^3$
che risulta a variabili separabili e pertanto, integrando, si ha
$z^2/2=u^2-u^4+c$
Ricordando che $z=u'$ e quindi che per $x=0$ si ha $u(0)=0, z(0)=u'(0)=1$, allora $1/2=c$ (come prima). Ne segue allora che
$(u')^2=2u^2-2u^4+1$ e quindi le due equazioni del primo ordine $u'=\pm\sqrt{2u^2-2u^4+1}$
$u''=\frac{du'}{dx}=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\dot{z}\cdot u'=\dot{z}\cdot z$
(o usato il punto per denotare la derivata rispetto ad $u$). In questo modo la tua equazione diventa della forma $F(\dot{z} z,z,u)=0$ o se vuoi $G(\dot{z},z,u)=0$ che adesso risulta una equazione differenziale del primo ordine dipendente da tutte le sue variabili (dipendenti e indipendenti). Nell'esempio specifico:
$\dot{z} z+4u^3-2u=0$ può essere riscritta come $z\dot{z}=2u-4u^3$
che risulta a variabili separabili e pertanto, integrando, si ha
$z^2/2=u^2-u^4+c$
Ricordando che $z=u'$ e quindi che per $x=0$ si ha $u(0)=0, z(0)=u'(0)=1$, allora $1/2=c$ (come prima). Ne segue allora che
$(u')^2=2u^2-2u^4+1$ e quindi le due equazioni del primo ordine $u'=\pm\sqrt{2u^2-2u^4+1}$
ok ho capito grazie mille!!!
Si può anche procedere in questo modo, anche se diciamo che si procede "per tentativo" e non da la sicurezza di scovare tutte le soluzioni.
Supponiamo di avere $u'' = u^{\gamma}$.
Cerchiamo una soluzione del tipo:
[tex]u = \alpha\ x^{\beta}[/tex].
Abbiamo allora:
[tex]u' = \alpha\ \beta\ x^{\beta-1}[/tex]
[tex]u'' = \alpha\ {\beta\ }{(\beta-1)\ }x^{\beta-2}[/tex].
Tornando all'eq. di partenza:
[tex]u'' = u^{\gamma}[/tex]
[tex]\alpha\ {\beta\ }{(\beta-1)\ }x^{\beta-2} = \alpha^{\gamma} x^{\gamma \beta}[/tex].
Uguagliando esponente e coefficiente:
[tex]\left\{\begin{matrix}
\beta-2=\gamma\beta\\
\alpha^{\gamma} = \alpha\ {\beta}{(\beta-1)}
\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}
\beta= \frac{2}{1-\gamma } \\
\alpha =0, \ \ \ \ \alpha = \left(2{\frac{1+\gamma}{(1-\gamma)^2}}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}
\end{matrix}\right.[/tex]
.
Ad es. nel nostro caso:
$u'' = u^{3},$ per cui $ \ \ \ \ \gamma = 3$,
quindi abbiamo le 2 soluzioni:
[tex]u = 0[/tex]
[tex]u = \frac{\sqrt2}{x}[/tex].
Si nota anche che deve essere: $\gamma \ne 1$, altrimenti non ci sono soluzioni.
In questo caso $u''=u $ si può risolvere con i metodi già noti.
Supponiamo di avere $u'' = u^{\gamma}$.
Cerchiamo una soluzione del tipo:
[tex]u = \alpha\ x^{\beta}[/tex].
Abbiamo allora:
[tex]u' = \alpha\ \beta\ x^{\beta-1}[/tex]
[tex]u'' = \alpha\ {\beta\ }{(\beta-1)\ }x^{\beta-2}[/tex].
Tornando all'eq. di partenza:
[tex]u'' = u^{\gamma}[/tex]
[tex]\alpha\ {\beta\ }{(\beta-1)\ }x^{\beta-2} = \alpha^{\gamma} x^{\gamma \beta}[/tex].
Uguagliando esponente e coefficiente:
[tex]\left\{\begin{matrix}
\beta-2=\gamma\beta\\
\alpha^{\gamma} = \alpha\ {\beta}{(\beta-1)}
\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}
\beta= \frac{2}{1-\gamma } \\
\alpha =0, \ \ \ \ \alpha = \left(2{\frac{1+\gamma}{(1-\gamma)^2}}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}
\end{matrix}\right.[/tex]
.
Ad es. nel nostro caso:
$u'' = u^{3},$ per cui $ \ \ \ \ \gamma = 3$,
quindi abbiamo le 2 soluzioni:
[tex]u = 0[/tex]
[tex]u = \frac{\sqrt2}{x}[/tex].
Si nota anche che deve essere: $\gamma \ne 1$, altrimenti non ci sono soluzioni.
In questo caso $u''=u $ si può risolvere con i metodi già noti.
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