Come si risolve questa disequazione?(sembra semplice, ma...)

[hank83]

Si tratta di una disequazione nell'incognita x, mentre n è da considerare un parametro fissato di volta in volta:
$x \geq 2^x - (n+1)$

In particolare poi mi interessa ricavare una formula per la funzione $f(n) = max {x : x geq 2^x - (n+1)}$

Grazie!

[mod="Steven"]Benvenuto nel forum. La sezione "Generale" non è quella adatta per i problemi di matematica, sposto in un'altra sezione.[/mod]

[pater46]

Questo tipo di disequazioni non sono risolvibili in modo elementare. Solitamente si utilizza il cosiddetto "metodo grafico" per arrivare alle soluzioni. Tuttavia il fatto che è una successione di funzioni, non ti rende possibile ( almeno credo ) trovare una soluzione UNIVOCA, a meno che le soluzioni non siano coincidenti ( e non è questo il caso ), oppure che la successione particolare converga..

Questo è il mio punto di vista, vediamo altri come la pensano!

Qui maggiori informazioni: http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_grafico

[hank83]

Non ho capito il tuo discorso sulla convergenza, né vedo alcuna successione di funzioni. L'intuizione è che la funzione $f(n)$ (a me interessano i valori interi di $f(n)$ per $n$ naturale) misura la "velocità" con cui per la funzione $2^x-1$ raggiunge la funzione $x+n$, al variare di $n$. Questo suggerisce, penso, che $f(n)$ stia nella classe di complessità $\Theta(log_2 n)$, ma non ne sono sicuro al 100%. Anzi, mi pare una buona domanda.

[hank83]

Utiliziamo lo sviluppo di McLaurin per $2^x$, che da $2^x = \sum_{i\geq 0} \frac{(ln 2)^i}{!i} x^i$. A questo punto per ogni $n$ esiste un $i$ tale che il valore intero di $(\sum_{i\geq 0} \frac{(ln 2)^i}{!i} x^i) - x -1$ è minore o uguale ad $n$. Se riusciamo a trovare una funzione $g(n)$ che descrive come varia $i$ in funzione di $n$ allora possiamo stimare il valore di $f(n)$ con un polinomio di grado $g(n)$, che si può di volta in volta massimizzare.

[gugo82]

Dubito fortemente che la tua funzione $f(n)$ abbia espressione elementare.
Allo stesso modo credo che $i(n)$ non sia determinabile in termini elementari.

Ovviamente non c'è sicurezza; direi piuttosto che è "buon senso matematico".