Come si risolve l'eq. diffrerenziale?

[bug54]

Salve,
mo trovo come soluzione di un esercizio di fisica (distribuzione delle molecole di un gas dentro un cilindro che ruota rispetto alla distanza dall'asse) la seguente eq. differenziale
$ax^2y(x)=bxy'(x)+c$
dove a, b e c sono delle costanti
x varia da 0 a x (generico) mentre y varia da $y_0$ a y(x).
Qual'è la soluzione dell'eq.?

[Luca.Lussardi]

E' riconducibile ad un'equazione lineare, attenzione a ridurla in forma normale.

[bug54]

siccome non sono più allenato per queste equazioni potresti postare la soluzione?
grazie

[Luca.Lussardi]

Per portarla in forma normale va divisa per $x$ quindi ti conviene anzitutto fissare una condizione iniziale $(x_0,y_0)$ con $x_0>0$ per esempio. Riducendola a lineare ne viene $y'=\frac{ax}{b}y-\frac{c}{bx}$, nel caso in cui ovviamente sia $b\ne 0$ altrimenti non e' un'equazione differenziale. Integrandola come lineare se non ho sbagliato i conti (trovi la formula risolutiva ovunque) dovrebbe venire $$y(x)=y_0e^{\frac{a}{2b}(x^2-x_0^2)}-e^{\frac{ax^2}{2b}}\int_{x_0}^x\frac{c}{bt}e^{-\frac{at^2}{2b}}dt$$ ma non credo che l'ultimo integrale sia calcolabile esplicitamente. Se la vuoi a partire da zero prova a passare al limite per $x\to 0^+$ nell'espressione esplicita e vedi che cosa succede, ma ricorda che non puoi fare il problema di Cauchy per $x_0=0$, o perlomeno non e' in forma normale.

[bug54]

OK
Grazie